50 Bài tập Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu (2024) có đáp án - Toán 9

Hình cầu - Toán lớp 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Hình cầu

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu.

- Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.

- Điểm O được gọi tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn.

Ví dụ 1. Mặt phẳng (P) cắt hình cầu tâm O, bán kính R ta được hình tròn như hình vẽ.

Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn:

- Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).

- Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm.

Ví dụ 2. Khi cắt mặt cầu tâm O bán kính R bởi một mặt phẳng ta được:

- Đường tròn tâm O bán kính R: mặt phẳng đi qua tâm.

- Đường tròn tâm O’ bán kính R’: mặt phẳng không đi qua tâm.

Ta có hình vẽ:

3. Diện tích và thể tích của hình cầu

Ví dụ 3. Một hình cầu có thể tích bằng 972π cm³. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Lời giải:

Bán kính của mặt cầu đó là:

Diện tích của mặt cầu đó là:

S = 4πR² = 4π . 9² = 324π (cm²)

Vậy diện tích của mặt cầu đó là 324π cm².

Bài tập vận dụng (có đáp án tham khảo)

Bài 1: Nếu thể tích của một hình cầu là $113\frac{1}{7}c{m}^3$ thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó, lấy $\pi \approx \frac{22}{7}$?

(A) 2cm;                          (B) 3cm;                              (C) 5cm;

(D) 6cm;                          (E) Một kết quả khác.

Lời giải

Ta có công thức tính thể tích của hình cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow R^3=\frac{3V}{4\pi }$

Mà theo đề bài ta có: V = $113\frac{1}{7}c{m}^3$ và $\pi \approx \frac{22}{7}$

$\Rightarrow R^3\approx \frac{3.113\frac{1}{7}}{4.\frac{22}{7}}\approx 27\Rightarrow R\approx \sqrt[3]{27}=3$ (cm)

Vậy ta chọn đáp án (B).

Bài 2: Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:

Lời giải

Cách tính:

Dòng thứ nhất : S = 4πR² . Thay số vào ta được

R = 0,3 mm ⇒ S = 4.3,14. 0,3² = 1,13 (mm²)

R = 6,21 dm ⇒ S = 4.3,14. 6,21² = 484,37 (dm²)

R = 0,283 m ⇒ S = 4.3,14. 0,283² = 1,01 (m²)

R = 100 km ⇒ S = 4.3,14. 100² = 125600 (km²)

R = 6 hm ⇒ S = 4.3,14. 6² = 452,16 (hm²)

R = 50 dam ⇒ S = 4.3,14. 50² = 31400 (dam²)

Dòng thứ hai : V = $\frac{4}{3}$ πR³ thay số vào ta được :

R = 0,3 mm ⇒ V = $\frac{4}{3}$.3,14.0,3³ = 0,113 (mm³)

R = 6,21 dm ⇒ V = $\frac{4}{3}$.3,14. 6,21³ = 1002,64 (dm³)

R = 0,283 m ⇒ V = $\frac{4}{3}$.3,14. 0,283³ = 0,095 (m³)

R = 100 km ⇒ V = $\frac{4}{3}$.3,14. 100³ = 4186666,67 (km³)

R = 6 hm ⇒ V = $\frac{4}{3}$.3,14. 6³ = 904,32 (hm³)

R = 50 dam ⇒ V = $\frac{4}{3}$.3,14. 50³ = 523333,34 (dam³)

Bài 3: Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị :cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).

Lời giải

Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh của một hình trụ bán kính đường tròn đáy r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ:

    S_xq = 2πrh = 2πr.2r = 4πr² (cm²)

Diện tích mặt cầu:

    S = 4πr²   (cm²)

Diện tích cần tính là:

    4πr² + 4πr² = 8πr²  (cm²) 

Bài 4: Dụng cụ thể thao.

Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Lời giải

Cách tính:

+ Quả bóng gôn:

d = 42,7mm ⇒ R = $\frac{d}{2}$ = 21,35 mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn: C = 2π.R = 2.3,14.21,35 ≈ 134,08 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd² = 3,14.(42,7)² ≈ 5725 mm² = 57,25 (cm²).

⇒ Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

$=\frac{4}{3}.3,14.{\left(21,35\right)}^3\approx 40744\left(m{m}^3\right)=40,74\left(c{m}^3\right)$

+ Quả khúc côn cầu:

C = πd = 23cm ⇒$d=\frac{23}{\pi }$ ≈ 7,32 (cm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd² = 3,14.(7,32)² = 168,25 (cm²).

⇒ Thể tích khối cầu: $V=\frac{1}{6}\pi d^3$

$=\frac{1}{6}.3,14.{\left(7,32\right)}^3=205,26\left(c{m}^3\right)$

+ Quả ten-nít:

d = 6,5cm

⇒ Độ dài đường tròn lớn: C = π.d = 3,14.6,5 = 20,41 (cm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd² = 3,14.(6,5)² =132,67 (cm²)

⇒ Thể tích khối cầu: $V=\frac{1}{6}\pi d^3$

$=\frac{1}{6}.3,14.{\left(6,5\right)}^3=143,72\left(c{m}^3\right)$

+ Quả bóng bàn:

d = 40mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn C = π.d = 3,14.40 ≈ 125,6 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = π.d² = 3,14.40² = 5024 (mm²)

⇒ Thể tích khối cầu: $V=\frac{1}{6}\pi d^3$

$=\frac{1}{6}.3,{14.40}^3=33493,33\left(m{m}^3\right)\simeq 33,49\left(c{m}^3\right)$

+ Quả bi-a:

d = 61mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn C = π.d = 3,14.61 = 191,54 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = π.d² = 3,14.61² ≈ 11683,94 (mm²)

⇒ Thể tích khối cầu: $V=\frac{1}{6}\pi d^3$

$=\frac{1}{6}.3,{14.61}^3\approx 118786,72\left(m{m}^3\right)\approx 118,79\left(c{m}^3\right)$

Bài 5: Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)

Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hình 109

Lời giải

Diện tích mặt khinh khí cầu là:

S= πd²=3,14.11²=379,94 ( m²)

Bài 6: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.110).

Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.

Hình 110

Lời giải

Thể tích cần tính gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu.

- Hình cầu có đường kính d = 1,8m ⇒ bán kính R = 0,9m

- Hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình cầu R = 0,9m; chiều cao h = 3,62m.

Thể tích hình trụ: V₁ = π.R².h ≈ 9,21 (m³).

Thể tích hai nửa hình cầu:  (m³).

Thể tích bồn chứa xăng: V = V₁ + V₂ ≈ 12,26(m³).

Bài 7: Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm).

a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.

b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.

Hình 111

Lời giải

a) Ta có: AA’ = AO + OO’ + O’A’

hay 2a = x + h + x

hay 2x + h = 2a.

b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là x, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có bán kính là x.

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh AM.BN = R²

c) Tính tỉ số 

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Lời giải

a)

Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của $\widehat{AOP},\widehat{BOP}$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà $\widehat{AOP}$ kề bù với $\widehat{BOP}$ nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy tam giác MON vuông tại O.

Góc APB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{APB}={90}^o$

Do AM là tiếp tuyến với (O) tại A nên $\widehat{MAO}={90}^o$

Do MN là tiếp tuyến với (O) tại P nên $\widehat{MPO}={90}^o$

Tứ giác AOPM có:

$\widehat{MAO}+\widehat{MPO}={90}^o+{90}^o={180}^o$

Do đó, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn 

$\Rightarrow \widehat{PMO}=\widehat{PAO}$ (do là hai góc nội tiếp chắn cung OP)

Xét tam giác MON và tam giác APB  có:

$\widehat{MON}=\widehat{APB}={90}^o$ (chứng minh trên)

$\widehat{PMO}=\widehat{PAO}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MON đồng dạng với tam giác APB (góc – góc).

b)

Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: $O{P}^2=MP.NP$ (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và AM cắt nhau ta có:

MA = MP (2)

Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và BN cắt nhau ta có:

NP = NB (3)

Theo (1), (2) và (3) ta có: $O{P}^2=MA.NB\Rightarrow R^2=MA.NB$ (đcpcm)

c)

Theo phần a, tam giác MON và tam giác APB đồng dạng với nhau 

Do đó, tỉ số đồng dạng là: $k=\frac{MN}{AB}\Rightarrow \frac{S_{MON}}{S_{APB}}=k^2=\frac{M{N}^2}{A{B}^2}$ (*)

Theo phần b, ta có: $R^2=MA.NB$

Lại có: $AM=\frac{R}{2}$ nên BN = $R^2:\frac{R}{2}=2R$

Mà: MN = MP + NP = MA + NB = $\frac{R}{2}$ + 2R = $\frac{5}{2}R$

Nên $M{N}^2={\left(\frac{5}{2}R\right)}^2=\frac{25R^2}{4}$ và AB = 2R 

Thay vào (*) ta có: $\frac{S_{MON}}{S_{APB}}=\frac{M{N}^2}{A{B}^2}=\frac{\frac{25R^2}{4}}{{(2R)}^2}=\frac{25}{16}$.

d) 

Nửa hình tròn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R nên thể tích khối cầu tạo ra là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Hai hình cầu A và B có các bán kính tương ứng là x và 2x (cm). Tỉ số thể tích của hai hình cầu này là:

(A) 1 : 2 

(B) 1 : 4

(C) 1 : 8   

(D) Một kết quả khác

Bài 2: Một hình cầu đường kính d (cm) được đặt vào trong một hình trụ có chiều cao là 1,5d (cm) như hình 110. Xét các phân số sau đây:

(A) $\frac{2}{3}$

(B) $\frac{4}{9}$

(C) $\frac{2}{9}$

(D) $\frac{1}{3}$

Đâu là tỉ số $\frac{V_{cau}}{V_{tru}}$ ?

 Bài 3: Một hình cầu đặt vừa khít vào trong một hình trụ như hình 108 (chiều cao của hình trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nó bằng$\frac{2}{3}$ thể tích của hình trụ. Nếu đường kính của hình cầu là d (cm) thì thể tích của hình trụ là:

(A) $\frac{1}{4}\pi d^3$ (cm³)

(B) $\frac{1}{3}\pi d^3$ (cm³)

(C) $\frac{2}{3}\pi d^3$ (cm³)

(D) $\frac{3}{4}\pi d^3$ (cm³)

Hãy chọn kết quả đúng.

Bài 4: Khi bán kính của một mặt cầu tăng lên 3/2 lần thì diện tích và thể tích thay đổi như thế nào?

Một quả bóng hình cầu bên trong một hình lập phương như hình 106:

a) Tính tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình lập phương với diện tích mặt cầu

b) Nếu diện tích mặt cầu là 7π (cm²) thì diện tích toàn phần của hình lập phương là bao nhiêu ?

c) Nếu bán kính hình cầu là 4cm thì thể tích phần trống (trong hình hộp ngoài hình cầu) là bao nhiêu ?

Bài 5: Giả sử trái cam có hình tương tự như mặt cầu, bạn Lan cắt trái cam làm đôi và tiến hành đo đường kính của nửa trái cam vừa cắt, bạn đo được bán kính tính cả vỏ cam là 2,5cm, biết vỏ cam dày 3mm. Hãy tính thể tích thực của quả cam đó.

Xem thêm các dạng bài tập Toán đầy đủ và hay khác:

50 Bài tập Độ dài đường tròn, cung tròn (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Diện tích hình tròn, hình quạt tròn (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Ôn tập chương 4: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu (có đáp án năm 2023)