50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
I.Kiến thức cần nhớ
Các hệ thức trong tam giác vuông:
Định lí. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với côtang của góc kề.
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
Khi đó, a là độ dài cạnh huyền;
b và c là độ dài hai cạnh góc vuông.
Do đó: b = a.sin B = a.cos C; c = a.sin C = a.cos B;
b = c.tan B = c.cot C; c = b.tan C = b.cot C.
II. Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết các tỉ số lượng giác của góc B và góc C. Từ đó hãy tính mỗi cạnh góc vuông theo:
a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C;
b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.
Hướng dẫn giải
a.
b.
Bài 2: Trong ví dụ 3, hãy tính cạnh BC mà không áp dụng định lý Py-ta-go.
Hướng dẫn giải
Bài 3: Trong ví dụ 4, hãy tính các cạnh OP, OQ qua côsin của các góc P và Q.
Hướng dẫn giải
Ta có: ∠P + ∠Q = 90o ⇒ ∠ Q = 90o - 36o= 54o
Xét tam giác OPQ vuông tại O
OP = PQ.cosP = 7.cos 36o ≈ 5,66
OQ = PQ.cosQ = 7.cos 54o ≈ 4,11
Bài 4: Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34o và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)
Hướng dẫn giải
Kí hiệu đỉnh như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
AB = AC.tg34o = 86.tg34o ≈ 58 (m)
Vậy chiều cao tòa nhà là 58m.
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng
a.
b.
c.
d.
Hướng dẫn giải
(Lưu ý: ΔABC vuông tại A nên ∠B + ∠C = 90o
Giải tam giác tức là đi tìm số đo các cạnh và các góc còn lại.)
a)
∠B = 90o - ∠C = 90o - 30o = 60o
c = b.tgC = 10.tg 30o ≈ 5,77 (cm)
b)
∠B = 90o - ∠C = 90o - 45o = 45o
=> ΔABC cân => b = c = 10 (cm)
Bài 6: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A có AC=7m, AB = 4m, . Ta cần tính góc B.
Theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:
Bấm máy tính ta được:
Bài 7: Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc α trong hình 32)
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A có AB=250m, BC=320m. Ta cần tính góc B.
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
Vậy chiếc đò lệch đi một góc gần bằng:
Bài 8: Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, ∠ABC = 38o, ∠ACB = 30o. Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:
a) Đoạn thẳng AN
b) Cạnh AC
Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.
Hướng dẫn giải
Kẻ BK ⊥ AC (K ∈ AC).
Trong tam giác vuông BKC có:
∠KBC = 90o – 30o = 60o
=> ∠KBA = 60o – 38o = 22o
BC = 11 (cm) => BK = 5,5 (cm) ( tính chất cạnh đối diện góc 30° trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền )
Xét tam giác ABK vuông tại K:
Xét tam giác ANB vuông tại N:
=> AN = ABsinABN = 5,93.sin38° ≈ 3,65(cm)
b) Xét tam giác ANC vuông tại N:
Bài 9: Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6 cm, ∠ABC = 90o, ∠ACB = 54o và ∠ACD = 74o.
Hãy tính:
a) AB
b) ∠ADC
Hình 33
Hướng dẫn giải
a) AB = AC.sinC = 8.sin54o = 6,47 (cm)
b) Trong tam giác ACD, kẻ đường cao AH.
Ta có: AH = AC . sinACH = 8.sin74o 7,69 (cm)
Bài 10: Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70o. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)
Hướng dẫn giải
Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông.
Đổi 5 phút . Biết vận tốc của thuyền là v=2km/h
Suy ra quãng đường thuyền đi trong 5 phút là:
(km).
Xét tam giác HAB vuông tại H, ta có:
Vậy chiều rộng khúc sông xấp xỉ 156,6(m).
Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án:
Cách chứng minh tam giác vuông cân (2024) chi tiết nhất
50 Bài tập về hình tam giác đều. hình vuông. hình lục giác đều (có đáp án năm 2024) - Toán 6
30 bài tập Tam giác đều. Hình vuông. Lục giác đều (2024) hay nhất, có đáp án
30 Bài tập đường trung tuyến trong tam giác vuông cân (2024) hay, có đáp án
