50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

I. Kiến thức cần nhớ 

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AB² = BC . BH; AC² = BC . HC.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

II. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Xét hình 1. Chứng minh  . Từ đó suy ra hệ thức (2)

Hướng dẫn giải 

Ta có: 

Mà 

Xét tam giác AHB và tam giác CHA có:

Vậy trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên hai cạnh huyền.

Bài 2:

Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

Hướng dẫn giải 

Xét tam giác ABD và tam giác CAB có:

 chung

Vậy ta có trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Bài 3: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau (h.4a, b):

Hướng dẫn giải 

a)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

(x + y)² = 6² + 8²

⇔ (x + y)² = 100    

⇒ x + y = 10

Áp dụng định lí (1) ta có:

6²  = x.10 ⇔ x = $\frac{6^2}{10}$ = 3,6

8²  = y.10 ⇔ y = $\frac{8^2}{10}$ = 6,4.

b)

Áp dụng định lí (1) có:

12² = x.20 ⇔ x = $\frac{{12}^2}{20}$ = 7,2

=> y = 20 - x = 20 -7,2 = 12,8.

Bài 4: Hãy tính x và y trong hình dưới đây:

Hướng dẫn giải 

Từ đề bài ta có cạnh huyền của tam giác có độ lớn là: 1 + 4 = 5

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền, ta được:

Bài 5: Hãy tính x và y trong hình sau:

Hướng dẫn giải 

Xét  vuông tại A. Theo định lí Pytago, ta có:

Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

Vậy 

Bài 6:

Hãy tính x và y trong hình sau:

Hướng dẫn giải 

Áp dụng định lí (2) ta có:

2² = 1 . x ⇒ x = 2² = 4.

Áp dụng định lí (1) ta có:

y² = x. (x + 1)

=> y² = 4.(4 + 1) = 20

=> y = $\sqrt{20}$ = $2\sqrt{5}$.

Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án:

Cách chứng minh tam giác vuông cân (2024) chi tiết nhất

Tính chất trọng tâm tứ diện (2024) chi tiết, có bài tập và đáp án

30 bài tập về tính chất tứ diện đều (2024) đầy đủ, có đáp án

50 Bài tập Hình tam giác - Diện tích hình tam giác (có đáp án năm 2024) - Toán lớp 5

60 Bài tập về Tính chất đường phân giác của tam giác (có đáp án năm 2023) - Toán 8