40 Bài tập về Cách tính đạo hàm của hàm lượng giác (2024) hay nhất, có đáp án

Đạo hàm của hàm số lượng giác

LÝ THUYẾT

1. Giới hạn $\frac{\mathbf{s}\mathbf{\text{inx}}}{\mathbf{x}}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1.$

Ví dụ 1. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(\mathrm{x}-1\right)}{{\mathrm{x}}^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+2\right)}=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\frac{1}{\mathrm{t}+2}\right) \\ =\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{t}+2}=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}={\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=2{\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ =2\left[\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ \mathrm{y}\text{'}=4\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \end{gathered}$$

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)$ tại $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=\left(\mathrm{cosu}\right)\text{'}=-\mathrm{u}\text{'}.\mathrm{sinu}= \\ -{\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right). \end{gathered}$$

Thay $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ vào y’ ta được:

$\mathrm{y}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại $\text{x=}\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\text{cos}}^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left(2+\mathrm{tanx}\right)\text{'}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \\ =\frac{\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \\ =\frac{1}{2.{\cos }^2\mathrm{x}\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \end{gathered}$$

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\sin }^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x².

Lời giải

y’ = (cot x²)’ = (x²)’.$\frac{-1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$=$-\frac{2\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

BÀI TẬP VẬN DỤNG (CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Tính các đạo hàm sau:

a) $\mathrm{y}=\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}$

b) $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{cosx}}{3{\sin }^3\mathrm{x}}+\frac{4}{3}\mathrm{cotx}$                   

c)  $\mathrm{y}={\cos }^2\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)$        

d) $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}$

Lời giải

a)    

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{\left(3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}\right)\text{'}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}} \\ =\frac{6\mathrm{tanx}.\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}-\frac{2}{{\sin }^{2}2\mathrm{x}}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{6\mathrm{sinx}}{{\text{cos}}^3\mathrm{x}}-\frac{1}{2.{\sin }^2\mathrm{x}.{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}} \end{gathered}$$

b)              

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(-\frac{\mathrm{cosx}}{3{\sin }^3\mathrm{x}}+\frac{4}{3}\mathrm{cotx}\right)}^{\text{'}} \\ =\frac{\mathrm{sinx}.3{\sin }^3\mathrm{x}+\mathrm{c}{\text{osx.9.sin}}^2\mathrm{x}.\mathrm{c}\text{osx}}{{\left(3{\sin }^3\mathrm{x}\right)}^2} \\ -\frac{4}{3{\sin }^2\mathrm{x}} \\ =\frac{{\sin }^2\mathrm{x}+3{\cos }^2\mathrm{x}}{3{\sin }^4\mathrm{x}}-\frac{4}{3{\sin }^2\mathrm{x}} \\ =\frac{3{\cos }^2\mathrm{x}-3{\sin }^2\mathrm{x}}{3{\sin }^4\mathrm{x}}=\frac{{\text{cos}}^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}}{{\sin }^4\mathrm{x}} \end{gathered}$$

c)      

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left({\cos }^2\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right)}^{\text{'}} \\ =2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).{\left[\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]}^{\text{'}} \\ =2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).{\left[\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]}^{\text{'}} \\ =2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\left[-\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]{\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)}^{\text{'}} \\ =-2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)3{\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx} \\ =-6.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right){\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx} \end{gathered}$$

d) 

$\text{y'=}\frac{\mathrm{x}\text{'}.\mathrm{sinx}-\mathrm{x}.{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^2}=\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}.\mathrm{cosx}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^2}$

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.

a) $\mathrm{y}={\sin }^6\mathrm{x}+{\cos }^6\mathrm{x}+3{\sin }^2{\mathrm{xcos}}^2\mathrm{x}$

b) $\mathrm{y}={\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)+{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)+$${\cos }^2\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)-2{\sin }^2\mathrm{x}$

Lời giải

a)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left({\sin }^6\mathrm{x}+{\cos }^6\mathrm{x}+3{\sin }^2{\mathrm{xcos}}^2\mathrm{x}\right)}^{\text{'}} \\ =6{\sin }^5\mathrm{xcosx}-6{\cos }^5\mathrm{x}.\mathrm{s}\text{inx}+6{\mathrm{sinxcos}}^3\mathrm{x} \\ -6{\sin }^3\mathrm{xcosx} \\ =6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^4\mathrm{x}-{\cos }^4\mathrm{x}\right)+ \\ 6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^2\mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}\right)\left({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}\right) \\ +6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^2\mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}\right)+ \\ 6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =-6\mathrm{sinxcosx}\left({\text{cos}}^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right)+ \\ 6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =0 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} y\text{'}=2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)- \\ 2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right) \\ +2\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right) \\ -2\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)-4\mathrm{sinxc}\text{osx} \\ =\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-2\mathrm{x}\right)-\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{x}\right)+ \\ \sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}-2\mathrm{x}\right)-\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{x}\right)-2\sin 2\mathrm{x} \\ =-2\mathrm{c}\text{os}\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)\sin 2\mathrm{x}-2\cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)\text{sin2x} \\ -2\sin 2\mathrm{x} \\ =\sin 2\mathrm{x}+\sin \text{2x}-2\sin 2\mathrm{x} \\ =0 \end{gathered}$$

Bài 3. Tìm f’(2) biết f(x) = x².sin(x – 2).

Lời giải

Ta có : f’(x) = 2x.sin(x – 2) + x²cos(x – 2)

Khi đó: f’(2) = 2.2.sin(2 – 2) + 2².cos(2 – 2)

                     = 4.0 + 4.1

                     = 0 + 4

                     = 4.

Vậy f’(2) = 4.

Bài 4: Đạo hàm của hàm số: