40 Bài tập Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

Ứng dụng của tích phân Tính thể tích khối tròn xoay

1. Phương pháp giải

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1: Tính thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=(1-x² ), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường

y = (1-x²), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox là:

Ví dụ minh họa 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x; y=x quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo.

Lời giải:

Giải phương trình √x = x ⇔ x ∈ {0;1}.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y=√x;y=x khi quay quanh trục Ox là

Ví dụ minh họa 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4 là:

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x³, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=x³, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

Bài 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x-x²; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của (H)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra

Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y=lnx,y=0,x=e quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: lnx=0 ⇔ x=1

Khi đó thể tích cần tìm là:

Bài 4: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong  trục Ox và trục Oy. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra

Bài 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=3x ;y=x ; x=1. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay (H).

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3x =x ⇔ x=0.

Suy ra:

Bài 6: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=x+1; y=6/x; x=1; x > 0. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x+1 =6/x ⇔ x²+x-6=0 ⇒ x=2.

Suy ra:

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1/cosx, x=0 và x=π/4

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1/cosx, x=0 và x=π/4 là:

Bài 8: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=√tanx, y=0, x=0, x=π/4 xung quanh trục Ox là:

Bài 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=e²x, y=0, x=0 và x=2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

Bài 10: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường  Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục x .

Lời giải:

Thể tích cần tìm là

4. Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1-x²; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?

A. 16/15.        B. 16π/15.        C. 4/3.         D. 4π/3

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra

Bài 2: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=x²; x=1; trục hoành. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. π/5.        B. π/3 .        C. π/10         D. 2π/5

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình hoành độ giao điểm: x²=0 ⇔ x=0

Suy ra

Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=0,y=x–x². Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

A. π/30        B. π/15        C. π/10        D. π/5

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Đồ thị hàm số y=x–x² cắt trục Ox tại hai điểm x=0;x=1

Thể tích cần tìm là

Bài 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x³+1 và hai trục Ox, Oy. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

A. 5π/14        B. 9π/14        C. 11π/14        D. 13π/14

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Đồ thị hàm số y=x³+1 cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x=-1

Thể tích cần tìm là

Bài 5: Thể tích vật thể quay quanh trục Ox giới hạn bởi y=x³,y=8,x=3 có kết quả là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Xét phương trình x³=8 ⇔ x=2

Bài 6: Hình (H) giới hạn bởi y=x²-4x+4, y=0, x=0, x=3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.

A. 33        B. 33/5        C. 33π/5        D. 33π

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Bài 7: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C):y=x³;d:y=-x+2;Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là :

A. 4π/21        B. 10π/21        C. π/7        D. π/3

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Phương trình hoành độ giao điểm:

Ta có:

Bài 8: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=√x-1, trục Ox và các đường thẳng x=1,x=4. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

A. 2π/3        B. 2        C. π/6        D. 7π/6

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Thể tích cần tìm là

Bài 9: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y=lnx, y=0, x=1, x=2 quay quanh trục Ox có kết quả là:

A. 2π(ln2-1)²        B. 2π(ln2+1)²

C. π(2ln2+1)²        D. π(2ln2-1)²

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 10: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong (C):y=sinx, trục Ox và các đường thẳng x=0,x=π. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là:

A. π/2        B. π²/2        C. π        D. π²

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=sinx, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=π là:

Bài 11: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=4/x và y=-x+5. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra:

Bài 12: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C): y=√x; d:y=x/2. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. 8π        B. 16π/3        C. 8π/3        D. 8π/15

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra:

Bài 13: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=x²-4, y=2x–4, x=0, x=2. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

A. -32π/5        B. 6π        C. –6π        D. 32π/5

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Vẽ hình

Suy ra thể tích cần tìm là

Bài 14: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=sin² x, y=0, x=0, x=π. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

A. π²/8        B. π²/4        C. π²/2        D. (3π²)/8

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Thể tích cần tìm là

Bài 15: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=cos4x, y=0, x=0, x=π/8 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

A. π²/2        B. π²/16        C. π/4        D. π/3

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Thể tích cần tìm là

Bài 16: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường  Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng

Bài 17: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=xlnx, y=0, x=e. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Giải phương trình xlnx=0⇔x=1.

Thể tích cần tìm là

Bài 18: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số  Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

A. π/3        B. π/2        C. π        D. 2π.

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Thể tích cần tìm là

Bài 19: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường = cosx, y=0, x=0, x = π/4 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Thể tích cần tìm là

Bài 20: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng  bằng:

A. V=3        B. V=20.        C. V=22.        D. V=18.

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Diện tích thiết diện là

Thể tích cần tìm là

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

30 Bài tập Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng (2024) cực hay

30 Bài tập Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1 (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập Tính tích phân từng phần (2024) cực hay, có đáp án

20 Bài tập Tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (2024) chi tiết, có đáp án

30 Bài tập Tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (2024) cực hay, có đáp án