Bài tập về Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số - Phương pháp Fre-Nen

Lý thuyết

1. Cách biểu diễn phương trình dao động điều hòa bằng một vecto quay

     - Vectơ OM→ biểu diễn phương trình dao động điều hòa: x = Acos⁡(ωt + φ) tại thời điểm t có những đặc điểm sau:

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen

     - Yêu cầu bài toán: tìm li độ của một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: x₁ = A₁cos⁡(ωt + φ₁ )

     x₂ = A₂cos⁡(ωt + φ₂ )

     Khi đó li độ của vật x = x₁ + x₂ có phương trình như thế nào?

     - Phương pháp giản đồ Fre-nen.

     B1: biểu diễn li độ x₁, x₂ tại thời điểm ban đầu bằng các Vectơ (OM₁→, OM₂→

     B2: li độ x = x₁ + x₂ của dao động tổng hợp tại thời điểm ban đầu được biểu diễn bằng OM→ = OM₁→ + OM₂→

     B3: Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm các đại lượng đặc trưng.

Phương dao động: cùng phương với 2 dao động thành phần.

Tần số: cùng tần số ω với 2 dao động thành phần.

Biên độ 

Pha ban đầu φ: 

     - Nhận xét: biên độ A phụ thuộc vào A₁,A₂ và độ lệch pha (φ₁ - φ₂)

         +) A_max = A₁ + A₂ khi 2 dao động cùng pha: (φ₁ - φ₂ ) = 2nπ (n = 0, ±1, ±2,...)

         +) A_min = |A₁ - A₂ | khi 2 dao động ngược pha: (φ₁ - φ₂ ) = (2n + 1)π (n = 0, ±1, ±2,...)

3. Sử dụng máy tính để tổng hợp dao động

     - VD: để tổng hợp 2 dao động x₁ = 1 cos⁡(ωt + 2π/3) và x₂ = √3cos⁡(ωt + π/6) ta dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:

     B1: Chọn đơn vị góc là radian 

     B2: Chọn chế độ tính toán với số phức  (khi đó máy tính sẽ hiện CMPLX)

     B3: Nhập số liệu

     (Màn hình máy tính sẽ hiện thị )

     B4: để hiện ra kết quả bấm 

     Màn hình sẽ hiện kết quả: 

     Nghĩa là biên độ A = 2 và pha ban đầu φ = π/3

Bài tập tự luyện

Bài 1: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình: x₁ = 2√3sinωt cm, x₂ = A₂cos(ωt + φ2) cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ) cm. Biết φ2 – φ = π/3. Cặp giá trị nào của A₂ và φ2 sau đây là đúng?

Bài 2: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x₁ = 10cos(2πt + φ) cm; x₂ = A₂cos(2πt − π/2) cm thì dao động tổng hợp là x = Acos(2πt − π/3) cm. Khi biên độ dao động của vật bằng nửa giá trị cực đại thì biên độ dao động A₂ có giá trị là:

Bài 3: Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ a là một dao động có biên độ cũng bằng a thì 2 dao động thành phần có độ lệch pha là:

A. π/2      B. π/4

C. π/3      D. 2π/3

Bài 4: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng chu kì T mà đồ thị x₁ và x₂ phụ thuộc thời gian biểu diễn trên hình vẽ.

Biết x₂ = v₁T, tốc độ cực đại của chất điểm là 53,4 cm/s. Giá trị T gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 2,56 s.      B. 2,99 s.

C. 2,75 s.      D. 2,64 s.

Bài 5: Hai dao động điều hoà: x₁ = A₁cos(ωt + φ1) và x₂ = A₂cos(ωt + φ2). Biên độ dao động tổng hợp của chúng đạt cực đại khi:

A. φ2 – φ1 = (2k + 1)π.

B. φ2 – φ1 = 2kπ.

C. φ2 – φ1 = (2k + 1)π/2.

D. φ2 – φ1 = π/4.

Bài 6: Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ a là một dao động có biên độ a√2 thì 2 dao động thành phần có độ lệch pha là:

A. π/2      B. π/4

C. 0.        D. π

Bài 7: Chuyển động của một vật là hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(10t - π/6) (cm) và x₂ = A₂cos(10t - π/6) (cm). Độ lớn của vận tốc ở vị trí cân bằng là 60 cm/s. Giá trị của A₂ bằng:

A. 4 cm. B. 6 cm.

C. 2 cm. D. 8 cm.

Bài 8: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x₁ = 3cos(2πt/3 - π/2) (cm) và x₂ = 3√3cos(2πt/3) (cm) (x₁ và x₂ tính bằng cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x₁ = x₂ li độ dao động tổng hợp là:

A. ± 7,59 cm.      B. ± 5,19 cm.

C. ± 6 cm.        D. ± 3 cm.

Bài 9: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(√3t/2 + π/3) (cm) và x₂ = 5cos(√3t/2 + 2π/3) (cm) (x₁; x₂ tính bằng , t tính bằng ). Gia tốc của vật có độ lớn cực đại là:

Bài 10: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, li độ x₁ và x₂ phụ thuộc thời gian như hình vẽ. Phương trình dao động tổng hợp là:

A. x = 2cos(ωt – π/3) cm.

B. x = 2cos(ωt + 2π/3) cm.

C. x = 2cos(ωt + 5π/6) cm.

D. x = 2cos(ωt – π/6) cm.

Bài 11: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x₁ = 5cos(4t + φ1) cm, x₂ = 3cos(4t + φ2) cm. Biên độ dao động tổng hợp thoả mãn:

A. 2 cm ≤ A≤ 4 cm.      B. 5 cm ≤ A≤ 8 cm.

C. 3 cm ≤ A≤ 5 cm.      D. 2 cm ≤ A≤ 8 cm.

- Ta có:

Bài 12: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần lượt là A₁ = 8 cm; A₂ = 15 cm và lệch pha nhau π/2. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ bằng:

A. 23 cm.      B. 7 cm.

C. 11 cm.      D. 17 cm.

Bài 13: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ đều bằng 6 cm và có pha ban đầu lần lượt là - π/6 và - π/2. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là:

Bài 14: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương x₁ = 4√3cos10πt (cm) và i, t đo bằng giây. Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2s là:

A. 20π (cm/s)      B. 40π (cm/s)

C. 10π (cm/s)      D. 40π (cm/s)

Bài 15: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là:

x₁ = A₁cos(ωt + π/2); x₂ = A₂cosωt; x₃ = A₃cos(ωt - π/2).

- Tại thời điểm t₁ các giá trị li độ: x₁ = - 10√3 cm; x₂ = 15 cm; x₃ = 30√3 cm.

- Tại thời điểm t₂ các giá trị li độ: x₁ = -20 cm; x₂ = 0 cm; x₃ = 60 cm.

Tính biên độ dao động tổng hợp?

A. 40 cm        B. 50 cm

C. 40√3 cm      D. 60 cm