30 Bài tập về rút gọn biểu thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
I. Phương pháp giải
1. Rút gọn biểu thức:
Để rút gọn các biểu thức, ta thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức (nếu có). Sau đó, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau:
A. 4x2 – 7x
B. 3x2 + 7x
C. 2x2 + 23x
D. 20x2 + 7x
Lời giải
Ta có:
A = 3x(4x - 5) - 2x(4x - 4)
= 3x.4x - 3x.5 - 2x.4x - 2x(-4)
= 12x2 - 15x - 8x2 + 8x
= (12x2 - 8x2) + (8x - 15x)
= 4x2 - 7x
Chọn A.
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức sau: B = x(x2 - xy) - x2(x - y)
A.2x2y
B.2xy2
C. 0
D. 2x3
Lời giải
B = x(x2 - xy) - x2(x - y)
B = x3 - x2y - (x3 - x2y)
B = x3 - x2y - x3 + x2y
B = (x3 - x3) + (x2y - x2y)
B = 0 + 0
B = 0
Chọn C
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức C = 6x(x + 3x -1) - 6x2 - 8xy
A.10xy + 6x
B. 10xy – 6x
C. 12x2 + 10xy
D. 12x2 – 10xy
Lời giải
C = 6x(x + 3y -1) - 6x2 - 8xy
C = 6x2 + 18xy - 6x - 6x2 - 8xy
C = (6x2 - 6x2) + (18xy - 8xy) - 6x
C = 10xy - 6x
Chọn B.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+ Với mọi x:
+ Với mọi a; b ta có:
. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0
• Cho biểu thức A(x):
+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.
+ Nếu
+ Nếu
+ Với mọi A; B ta có:
Ví dụ minh họa:
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x2 + 8x + 10
A . 6 B. 10 C. 12 D. 18
Lời giải
C = 4x2 + 8x + 10 = (2x)2 + 2.2x.2 + 4 + 6
= (2x + 2)2 + 6
Với mọi x ta có:
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6
Chọn A..
II. Bài tập vận dụng
Câu 1. Rút gọn biểu thức: A = 2x2 (- 3x3 + 2x2 + x- 1) + 2x(x2 – 3x + 1)
A. A = -6x5 + 4x2 - 4x3 - 2x
B. A = - 6x5 + 2x2 + 4x3 + 2x
C. A = - 6x5 - 4x2 + 4x3 + 2x
D. A = - 6x5 - 2x2 + 4x3 - 2x
Lời giải:
Ta có: A = 2x2 (- 3x3 + 2x2 + x- 1) + 2x(x2 – 3x + 1)
A = 2x2 . (-3x3) + 2x2 . 2x2 + 2x2. x+ 2x2. (-1) + 2x.x2 + 2x.(-3x) + 2x.1
A = - 6x5 + 4x2 + 2x3 - 2x2 + 2x3 – 6x2 + 2x
A = - 6x5 - 4x2 + 4x3 + 2x
Chọn C.
Câu 2: Thực hiện phép tính (5x – 1). (x+ 3) – (x- 2)(5x – 4) ta có kết quả là ?
A. 28x - 3
B. 28x + 5
C. 28x - 11
D. 28x - 8
Lời giải:
Ta có: (5x - 1)(x + 3) - (x - 2)(5x - 4) = 5x(x + 3) - (x + 3) - x(5x - 4) + 2(5x - 4)
= 5x2 + 15x - x - 3 - 5x2 + 4x + 10x - 8
= 28x - 11
Chọn C.
Câu 3. Rút gọn biểu thức A= (x- 2y). (x2 – 1) – x(x2 - 2xy + 1)
A. 2x – 2y
B. – 2x + 2y
C. 2x + 2y
D. -2x – 2y
Lời giải:
A = (x - 2y).(x2 - 1) - x(x2 - 2xy + 1)
A = x(x2 - 1) - 2y(x2 - 1) - x3 + 2x2y - x
A = x3 - x - 2x2y + 2y - x3 + 2x2y - x
A = (x3 - x3) + (2x2y - 2x2y) + (-x - x) + 2y
A = 0 + 0 - 2x + 2y
A = -2x + 2y
Chọn B.
Câu 4: Rút gọn của biểu thức A = (2x -3). ( 4+6x) – (6 – 3x). ( 4x – 2) là ?
A.0
B. x2 + 20x
C. 12x2 – 20x
D. Kết quả khác
Lời giải:
Ta có: A = (2x - 3)(4 + 6x) - (6 - 3x)(4x - 2)
= (8x + 12x2 - 12 - 18x) - (24x - 12 - 12x2 + 6x)
= 12x2 - 10x - 12 - 30x + 12x2 + 12
= 24x2 - 40x
Chọn D.
Câu 5. Rút gọn biểu thức A = (x - 2y).(x2 + xy) - (xy - y2).(x + y)
A. x3 + y3 - 2x2y - 2xy2
B. x3 + y3 - 2xy +2xy2
C. x3 + y3 - 2x2y + 2xy
D. x3 + y3 + 2xy
Lời giải:
Ta có:
A = (x - 2y).(x2 + xy) - (xy - y2).(x + y)
A = x(x2 + xy) - 2y(x2 + xy) - xy(x + y) + y2(x + y)
A = x3 + x2y - 2x2y - 2xy2 - x2y - xy2 + y3
A = (x3 + y3) + (x2y - 2x2y - x2y) + (-2xy2 - xy2 + xy2)
A = x3 + y3 - 2x2y - 2xy2
Chọn A.
Câu 6. Rút gọn biểu thức B = (x - y + 1).(x + xy) - (y - xy).(x - 1)
A. x2y + x2 - xy2 + x + y
B. 2x2y + x2 - xy2 -x + y
C. -2xy + x2 - xy2 + x - y
D. 2x2y - 2xy + x2 - xy2 + x + y
Lời giải:
Ta có:
B = (x - y + 1).(x + xy) - (y - xy).(x - 1)
B = x(x + xy) - y(x + xy) + 1.(x + xy) - y(x - 1) + xy(x - 1)
B = x2 + x2y - xy - xy2 + x + xy - xy + y + x2y - xy
B = (x2y + x2y) + (-xy + xy - xy - xy) + x2 - xy2 + x + y
B = 2x2y - 2xy + x2 - xy2 + x + y
Chọn D.
Câu 7. Cho A = 2x2(x3 + x2 - 2x2 + 1); B = -3x3.(-2x2 + 3x + 2) . Tính A + B?
A. 8x5 + 7x4 -10x3 + x2
B. 8x5 – 7x4 -10x3 + 2x2
C. 8x5 + 6x4 + 10x3 + 2x2
D. 8x5 – 7x4 + 8x3 - x2
Lời giải:
Ta có:
A = 2x2.x3 + 2x2 .x2 + 2x2 . (-2x) + 2x2 .1
A = 2x5 + 2x4 - 4x3 + 2x2
Và
B = -3x3. (-2x2 + 3x + 2)
B = - 3x3. (-2x2) - 3x3. 3x - 3x3 .2
B = 6x5 – 9x4 – 6x3
Suy ra: A + B = 2x5 + 2x4 – 4x3 + 2x2 + 6x5 – 9x4 – 6x3
A + B = 8x5 – 7x4 -10x3 + 2x2
Chọn B.
Câu 8. Rút gọn biểu thức: A = (x + y).(x2 + xy) - xy(x2 + y2 + y)
A. x3 + x2y - 2x3y - xy3
B. x3 - x2y - x3y - xy3
C. x3 + 2x2y - x3y - xy3
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có:
A = (x + y).(x2 + xy) - xy(x2 + y2 + y)
A = x(x2 + xy) + y(x2 + xy) - xy.x2 - xy.y2 - xy.y
A = x3 + x2y + x2y + xy2 - x3y - xy3 - xy2
A = x3 + 2x2y - x3y - xy3
Chọn c.
Câu 9. Rút gọn biểu thức A = (2x2 + 2x). ( - 2x2 + 2x ) ta được:
A. 4x4 + 8x3 + 4x2
B. – 4x4 + 8x3
C. – 4x4 + 4x2
D. 4x4 - 4x2
Lời giải:
Ta có:
A = (2x2 + 2x). ( - 2x2 + 2x )
A = 2x2. (- 2x2 + 2x) + 2x . (- 2x2 + 2x)
A = 2x2. (-2x2 ) + 2x2 .2x + 2x. (- 2x2) + 2x .2x
A = - 4x4 + 4x3 - 4x3 + 4x2
A = - 4x4 + 4x2
Chọn c.
Câu 10. Rút gọn biểu thức sau: C = (x - y).(x + 2y) - x(x + 4y) + 4y(x - y)
A. x2 + 6xy
B. xy – 2y2
C. xy – 6y2
D. x2 – 6y2
Lời giải:
Ta có:
C = (x - y).(x + 2y) - x(x + 4y) + 4y(x - y)
C = x(x + 2y) - y(x + 2y) - x2 - 4xy + 4xy - 4y2
C = x2 + 2xy - xy - 2y2 - x2 - 4y2
C = (x2 - x2) + (2xy - xy) - (2y2 + 4y2)
C = xy - 6y2
Chọn C.
Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 + 8x + 11
A. 3 B. 8 C. 11 D. 9
Lời giải:
Ta có:
A = 2x2 + 8x + 11 = 2(x2 + 4x) + 11
= 2(x2 + 4x + 4) - 8 + 11
= 2(x + 2)2 + 3
Vì
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3
Chọn A.
Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x2 - 2x + y2 + 4y + 10
A. 1 B. 10 C. 5 D. 8
Lời giải:
Ta có:
E = x2 - 2x + y2 + 4y + 10
= (x2 - 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) + 5
= (x - 1)2 + (y + 2)2 + 5
Vì
Do đó, giá trị nhỏ nhất của E là 5.
Chọn C.
Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x2 + y2 + 6y + 20
A. 20 B. 11 C. 10 D. 16
Lời giải:
Ta có;
D = 4x2 + y2 + 6y + 20 = 4x2 + (y2 + 6y + 9) + 11
= 4x2 + (y + 3)2 + 11
Vì:
Suy ra:
Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 11
Chọn B.
Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2 + 5y2 - 4xy - 8y + 28
A.10 B. 8 C. 20 D. 15
Lời giải:
Ta có:
G = x2 + 5y2 - 4xy - 8y + 28
G = (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 8y + 16) + 8
= (x - 2y)2 + (y - 4)2 + 8
Vì
Suy ra:
Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 8.
Chọn B.
Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1
Lời giải:
A = |x + 1001| + 1
Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x
Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x
Do đó A ≥ 1 ∀ x
Vậy GTNN của A là , khi |x + 1001| = 0, nghĩa là x = -1001.
Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 - |5x + 3|
Lời giải:
B = 5 - |5x + 3|
Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x
⇒ 5 - |5x + 3| ≤ 5 ∀ x
Suy ra B ≤ 5 ∀ x
Vậy GTLN của B là 5, khi |5x + 3| = 0, nghĩa là 5x + 3 = 0 ⇒ x =
Câu 17: Tìm GTNN của biểu thức C = |x – 1| + |x – 2019|
Lời giải:
C = |x – 1| + |x – 2019|
= |x – 1| + |-(x – 2019)| (vì |a| = |-a|)
= |x – 1| + |2019 – x|
Vì |x – 1| + |2019 – x| ≥ |x – 1 + 2019 – x| (theo tính chất ở phần lý thuyết)
Mà |x – 1 + 2019 – x| = |2019 – 1| = |2018| = 2018
Suy ra C ≥ 2018
Vậy GTNN của C là 2018
Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án:
50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2024)
20 Bài tập Cách Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai (2024) cực hay, có đáp án
50 bài tập về rút gọn biểu thức hữu tỉ (có đáp án 2024)
20 bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn (2024) mới nhất, có đáp án
60 Bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án năm 2024)