50 bài tập về rút gọn biểu thức hữu tỉ (có đáp án 2024 ) – Toán 8

Rút gọn biểu thức hữu tỉ và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc nhiều phân thức được nối với nhau bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên phân thức.

- Biến đổi biểu thức hữu tỉ là bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta đưa các biểu thức hữu tỉ về phân thức.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Ta tìm điều kiện để tất cả các mẫu thức khác 0

Ví dụ: Tìm x để các biểu thức hữu tỉ sau xác định.

a) $A=\frac{x^2}{x-8}.\left(\frac{x^2+64}{x}-16\right)+19$

b) $B=\left(\frac{x^2+1}{8}+\frac{x}{4}\right).\left(\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+1}\right)$

c) $C=\left(\frac{x^2+x}{x^2-5x+6}+\frac{1}{x-3}\right):\frac{1}{x-1}$

Lời giải:

a) Biểu thức A xác định$\iff \left\{\begin{array}{l}x-8\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 8\\ x\ne 0\end{array}\right.$

Vậy $x\ne 0$và $x\ne 8$ thì biểu thức A xác định.

b) Biểu thức B xác định$\iff \left\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}\right.\Rightarrow x\ne \pm 1$

Vậy $x\ne \pm 1$ thì biểu thức B xác định.

c) Biểu thức C xác định $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+6\ne 0\\ x-3\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\ne 0\\ x\ne 3\\ x\ne 1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne 3\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Vậy $x\ne 2$;$x\ne 1$;$x\ne 3$ thì biểu thức C xác định.

Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước

Bước 1: Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đã học để biến đổi

Bước 2: Biến đổi cho tới khi được một phân thức mới có dạng $\frac{A}{B}$

Ví dụ: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a) $A=\frac{2+\frac{1}{x}}{2-\frac{1}{x}}$ với $x\ne 0;x\ne \frac{1}{2}$

b) $B=\frac{x-8+\frac{12}{x}}{x-7+\frac{6}{x}}$ với $x\ne 0;x\ne 1;x\ne 6$.

Lời giải:

a) $A=\frac{2+\frac{1}{x}}{2-\frac{1}{x}}$

$\iff A=\frac{\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}}$

$\iff A=\frac{\frac{2x+1}{x}}{\frac{2x-1}{x}}$

$\iff A=\frac{2x+1}{x}:\frac{2x-1}{x}$

$\iff A=\frac{2x+1}{x}.\frac{x}{2x-1}$

$\iff A=\frac{\left(2x+1\right)x}{x\left(2x-1\right)}=\frac{2x+1}{2x-1}$

Vậy $A=\frac{2x+1}{2x-1}$với $x\ne 0;x\ne \frac{1}{2}$.

b) $B=\frac{x-8+\frac{12}{x}}{x-7+\frac{6}{x}}$

$\iff B=\frac{\frac{x^2}{x}-\frac{8x}{x}+\frac{12}{x}}{\frac{x^2}{x}-\frac{7x}{x}+\frac{6}{x}}$

$\iff B=\frac{\frac{x^2-8x+12}{x}}{\frac{x^2-7x+6}{x}}$

$\iff B=\frac{x^2-8x+12}{x}:\frac{x^2-7x+6}{x}$

$\iff B=\frac{x^2-8x+12}{x}.\frac{x}{x^2-7x+6}$

$\iff B=\frac{\left(x-2\right)\left(x-6\right)}{x}.\frac{x}{\left(x-6\right)\left(x-1\right)}$

$\iff B=\frac{\left(x-2\right)\left(x-6\right)x}{x\left(x-6\right)\left(x-1\right)}$

$\iff B=\frac{x-2}{x-1}$ với $x\ne 0;x\ne 1;x\ne 6$.

Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số đã học để biến đổi.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

 $B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}-1\right)$ với $x\ne \pm \frac{1}{2}$.

Lời giải:

$B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}-1\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{2x+1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{2x-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{\left(2x+1\right)-\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{2x+1-2x+1-4x^2+1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{-4x^2+3}{4x^2-1}\right)$

$\iff B=\frac{\left(4x^2-1\right)\left(-4x^2+3\right)}{4x^2-1}$

$\iff B=-4x^2+3$ với $x\ne \pm \frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Cho biểu thức

$P=\frac{x^2+2x}{2x+12}+\frac{x-6}{x}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

a) Tìm điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P = $\frac{3}{2}$.

Lời giải:

a) P có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}2x+12\ne 0\\ x\ne 0\\ 2x\left(x+6\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne -12\\ x\ne 0\\ x\ne 0;x\ne -6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -6\end{array}\right.$

Vậy để P có nghĩa thì $x\ne 0$ và $x\ne -6$.

b) $P=\frac{x^2+2x}{2x+12}+\frac{x-6}{x}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^2+2x}{2\left(x+6\right)}+\frac{x-6}{x}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x\left(x^2+2x\right)}{2x\left(x+6\right)}+\frac{\left(x-6\right).2\left(x+6\right)}{2x\left(x+6\right)}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+2x^2}{2x\left(x+6\right)}+\frac{2x^2-72}{2x\left(x+6\right)}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x^3+2x^2\right)+\left(2x^2-72\right)+\left(108-6x\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+2x^2+2x^2-72+108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+4x^2-6x+36}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+216+4x^2-6x+36-216}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x^3+216\right)+\left(4x^2-6x-180\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left(x^2-6x+36\right)+\left(x+6\right)\left(4x-30\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left[\left(x^2-6x+36\right)+\left(4x-30\right)\right]}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left(x^2-6x+36+4x-30\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left(x^2-2x+6\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^2-2x+6}{2x}$.

c) Để P = $\frac{3}{2}$$\Rightarrow \frac{x^2-2x+6}{2x}=\frac{3}{2}$

$\iff 2\left(x^2-2x+6\right)=2x.3$

$\iff 2x^2-4x+12=6x$

$\iff 2x^2-4x+12-6x=0$

$\iff 2x^2-10x+12=0$

$\iff 2\left(x^2-5x+6\right)=0$

$\iff 2\left(x^2-2x-3x+6\right)=0$

$\iff 2\left[x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)\right]=0$

$\iff 2\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x-3=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\text{ (tm)}\\ x=3\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Vậy để P = $\frac{3}{2}$thì $x=2$hoặc $x=3$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1. Kết quả của phép tính (x -2)(x +5) bằng ?

A. x2 - 2x - 10

B. x2 + 3x - 10

C. x2 - 3x - 10

D. x2 + 2x - 10

Câu 2. Biểu thức rút gọn của biểu thức A = (2x - 3)(4 + 6x) - (6 - 3x)(4x - 2) là ?

A. 0

B. 40x

C. - 40x

D. Kết quả khác.

Câu 3. Rút gọn biểu thức A = (x + 2).(2x - 3) + 2 ta được:

A. 2x2 + x - 4

B. x2 + 4x - 3

C. 2x2 – 3x + 2

D. –2x2 + 3x - 2

Câu 4. Rút gọn biểu thức A = (2x2 + 2x).(-2x2 + 2x ) ta được:

A. 4x4 + 8x3 + 4x2

 B. –4x4 + 8x3

C. –4x4 + 4x2

D. 4x4 - 4x2

Câu 5. Tìm x biết: (3x + 1). (2x- 3) - 6x.(x + 2) = 16

A. x = 2

B. x = - 3

C. x = - 1

D. x = 1

Câu 6. Rút gọn biểu thức: A = (x + 2).(x2 - 2x + 4) - x.(x2 + 2)

A. 2x3 - 2x

B. x3 – 8 – 2x

C. -8- 2x

D. x3 + 8

Câu 7. Rút gọn biểu thức: B = (x - 1).(2x + 2) - 2.(x + 2).(x - 1)

A. x2 + 2

B. x2 – 2x

C. – 2x – 2

D. – 2x + 2

Câu 8. Rút gọn biểu thức: C = 3(2x - 3).(2x + 3) - 12x.(x + 1) + x ta được C = ax + b. Tính a + b

A. -38

B. 27

C. – 36

D. 28

Câu 9. Rút gọn biểu thức A= (2x + 2). (4x2 – 4x + 4) – 8x.(x - 1). (x + 1) có dạng A= ax + b. Tính a- b?

A. 1

B. 2

C.0

D. -1

Câu 10. Rút gọn biểu thức A = (2x + 3).(2x - 4)2 - 8.(x3 + 6)

A. -20x2 – 16x

B. 20x2 – 16x

C. -16x – 20

D. -20x2 - 20

Câu 11. Thực hiện phép tính (5x – 1). (x + 3) – (x - 2)(5x – 4) ta có kết quả là ?

A. 28x - 3

B. 28x + 5

C. 28x - 11

D. 28x - 8

Câu 12. Rút gọn biểu thức A= (x - 2y). (x2 – 1) – x(x2 - 2xy + 1)

A. 2x – 2y

B. – 2x + 2y

C. 2x + 2y

D. -2x – 2y

Câu 13. Rút gọn của biểu thức A = (2x - 3). ( 4 + 6x) – (6 – 3x). ( 4x – 2) là ?

A.0

B. x2 + 20x

C. 12x2 – 20x

D. Kết quả khác

Câu 14. Rút gọn biểu thức A = (x - 2y).(x2 + xy) - (xy - y2).(x + y)

A. x3 + y3 - 2x2y - 2xy2

B. x3 + y3 - 2xy +2xy2

C. x3 + y3 - 2x2y + 2xy

D. x3 + y3 + 2xy

Câu 15. Rút gọn biểu thức B = (x - y + 1).(x + xy) - (y - xy).(x - 1)

A. x2y + x2 - xy2 + x + y

B. 2x2y + x2 - xy2 -x + y

C. -2xy + x2 - xy2 + x - y

D. 2x2y - 2xy + x2 - xy2 + x + y

 

 Hướng dẫn giải

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Đáp án	B	D	A	C	C	C	D	A	C	A	C	B	D	A	D

Câu 1. 

Ta có ( x - 2 )( x + 5 ) = x( x + 5 ) - 2( x + 5 ) = x2 + 5x - 2x - 10 = x2 + 3x - 10.

Câu 2.

Ta có A = ( 2x - 3 )( 4 + 6x ) - ( 6 - 3x )( 4x - 2 ) = ( 8x + 12x2 - 12 - 18x ) - ( 24x - 12 - 12x2 + 6x ) = 12x2 - 10x - 12 - 30x + 12x2 + 12 = 24x2 - 40x.

Câu 3. 

Ta có: A = (x + 2).(2x - 3) + 2

A = x.(2x – 3) + 2. (2x – 3) + 2

A = 2x2 – 3x + 4x - 6 + 2

A = 2x2 + x – 4

Câu 4.

Ta có: A = (2x2 + 2x).(-2x2 + 2x )

A = 2x2.(-2x2 + 2x) + 2x.(-2x2 + 2x)

A = 2x2.(-2x2) + 2x2.2x + 2x. (-2x2) + 2x .2x

A = -4x4 + 4x3 - 4x3 + 4x2

A = -4x4 + 4x2

Câu 5.

(3x + 1).(2x - 3) - 6x.(x + 2) = 16

⇔ 3x(2x - 3) + 1.(2x – 3 ) - 6x. x – 6x . 2 = 16

⇔ 6x2 – 9x + 2x – 3 – 6x2 - 12x = 16

⇔ -19x = 16 + 3

⇔ - 19x = 19

Vậy x = -1

Câu 6. 

A = (x + 2)(x2 - 2x + 4) - x(x2 + 2)

A = x3 - 23 - x3 - 2x

A = -8 - 2x 

Câu 7. 

Ta có: B = (x - 1)(2x + 2) - 2(x + 2)(x - 1)

B = (x - 1)(x + 1)2 - 2(x2 - x + 2x - 2)

B = 2(x2 - 1) - 1(x2 + x - 2)

B = 2x2 - 2 - 2x2 - 2x + 4

B = -2x + 2

Câu 8. 

Ta có: C = 3(2x - 3)(2x + 3) - 12x(x + 1) + x

C = 3(4x2 - 9) - (12x2 + 12x) + x

C = 12x2 - 27 - 12x2 - 12x + x

C = -11x - 27

Vậy a = -11; b = -27 nên a + b = - 38

Câu 9. 

A = (2x + 2)(4x2 - 4x + 4) - 8x(x - 1)(x + 1)

A = (2x)3 + 23 - 8x(x2 - 1)

A = 8x3 + 8 - 8x3 + 8x

A = 8x + 8

Vậy a = 8; b = 8 nên a- b = 0

Câu 10.

Ta có: A = (2x + 3)(2x - 4)2 - 8(x3 + 6)

A = (2x + 3)(4x2 - 16x + 16) - 8x3 - 48

A = 8x3 - 32x2 + 32 + 12x2 - 48x + 48 - 8x3 - 48

A = (8x3 - 8x3) + (-32x2 + 12x2) + (32x - 48x) + (48 - 48)

A = -20x2 - 16x

Câu 11. 

Ta có: (5x - 1)(x + 3) - (x - 2)(5x - 4) = 5x(x + 3) - (x + 3) - x(5x - 4) + 2(5x - 4) = 5x2 + 15x - x - 3 - 5x2 + 4x + 10x - 8 = 28x - 11

Câu 12.

A = (x - 2y).(x2 - 1) - x(x2 - 2xy + 1)

A = x(x2 - 1) - 2y(x2 - 1) - x3 + 2x2y - x

A = x3 - x - 2x2y + 2y - x3 + 2x2y - x

A = (x3 - x3) + (2x2y - 2x2y) + (-x - x) + 2y

A = 0 + 0 - 2x + 2y

A = -2x + 2y

Câu 13.

Ta có: A = (2x - 3)(4 + 6x) - (6 - 3x)(4x - 2) = (8x + 12x2 - 12 - 18x) - (24x - 12 - 12x2 + 6x) = 12x2 - 10x - 12 - 30x + 12x2 + 12 = 24x2 - 40x

Câu 14.

A = (x - 2y).(x2 + xy) - (xy - y2).(x + y)

A = x(x2 + xy) - 2y(x2 + xy) - xy(x + y) + y2(x + y)

A = x3 + x2y - 2x2y - 2xy2 - x2y - xy2 + y3

A = (x3 + y3) + (x2y - 2x2y - x2y) + (-2xy2 - xy2 + xy2)

A = x3 + y3 - 2x2y - 2xy2

Câu 15. 

Ta có: B = (x - y + 1).(x + xy) - (y - xy).(x - 1)

B = x(x + xy) - y(x + xy) + 1.(x + xy) - y(x - 1) + xy(x - 1)

B = x2 + x2y - xy - xy2 + x + xy - xy + y + x2y - xy

B = (x2y + x2y) + (-xy + xy - xy - xy) + x2 - xy2 + x + y

B = 2x2y - 2xy + x2 - xy2 + x + y

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a) $\frac{x+1}{x^3-4x^2+3x}$

b) $\frac{x^2-1}{9x^2-16}$

c) $\frac{x-y}{x^2-4xy+4y^2}$

d) $\frac{x+1}{x^2-6x+9}$

Bài 2: Chứng minh các phân thức sau luôn xác định với mọi x,y

a) $\frac{x-3}{x^2-2x+6}$

b) $\frac{x^3+1}{9x^2+1}$

c) $\frac{x-y}{x^2+2y^2+1}$

d) $\frac{x-3y}{{\left(x-1\right)}^2+y^2-2y+3}$

Bài 3: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a) $A=\frac{1+\frac{4}{x-2}}{1+\frac{2x}{x^2+2x+4}}$với $x\ne \pm 2$

b) $B=\frac{x}{1-\frac{x}{x+3}}$với $x\ne -3$

c) $C=\frac{3x-\frac{1}{9x^2}}{1+\frac{1}{3x}+\frac{1}{9x^2}}$ với $x\ne 0$

Bài 4: Thực hiện phép tính

a) $P=\left[\frac{1}{{\left(x-2y\right)}^2}+\frac{2}{x^2-4y^2}+\frac{1}{{\left(x+2y\right)}^2}\right].\frac{{\left(x+2y\right)}^2}{16x}$

b) $Q=\left(\frac{1}{x^2+8x+16}-\frac{1}{x^2-8x+16}\right):\left(\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}\right)$

Bài 5: Cho biểu thức$A=\frac{x^2+2x}{2x+10}+\frac{x-5}{x}-\frac{5x-50}{2x^2+10x}$

a) Tìm điều kiện xác định của A.

b) Rút gọn A.

c) Tính giá trị của tại điểm x = 1.

d) Tìm x để A = 0.

Bài 6: Cho biểu thức $B=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

a) Tìm điều kiện xác định của B.

b) Rút gọn B.

c) Tính B khi x = 5.

Bài 7: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a) $P=\frac{1+x^2-\frac{7}{x+1}}{2-\frac{7}{x+1}}$ với $x\ne -1;x\ne \frac{5}{2}$.

b) $Q=1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}}$với giả xử mẫu số luôn khác 0.

Bài 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

$M=\frac{{\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2}{\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{2}{x+1}\left(\frac{1}{x}+1\right)}$.

Bài 9: Cho $P=\frac{2xy}{x^2-y^2}$và $Q=\frac{2xy}{x^2+y^2}$

Rút gọn biểu thức $A=\frac{PQ}{P^2-Q^2}$.

Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

$A=\left(\frac{x}{x^2-49}-\frac{x-7}{x^2+7x}\right):\frac{2x-7}{x^2+7x}+\frac{x}{7-x}$ với $x\ne \pm 7;x\ne 0;x\ne \frac{7}{2}$.

Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án:

60 Bài tập về Rút gọn phân thức (có đáp án năm 2024) - Toán 8

50 bài tập về rút gọn phân thức đại số (có đáp án 2023) – Toán 8

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2024) - Toán 9

20 Bài tập Cách Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai (2024) cực hay, có đáp án (dạng √(A2))

50 Bài tập về Phân số bằng nhau.Rút gọn phân số (có đáp án năm 2024) - Toán lớp 4