50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2024) - Toán 9

1900.edu.vn xin giới thiệu: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Kiến thức cần nhớ

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

Ví dụ. Rút gọn $4 \sqrt{a} + 12 \sqrt{\frac{a}{9}} - a \sqrt{\frac{4}{a}} + \sqrt{3}$ với a > 0.

Lời giải:

Vì a > 0 nên |a| = a.

Ta có, $4 \sqrt{a} + 12 \sqrt{\frac{a}{9}} - a \sqrt{\frac{4}{a}} + \sqrt{3}$

$= 4 \sqrt{a} + 12 \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{9}} - a \sqrt{\frac{4 a}{a^{2}}} + \sqrt{3}$

$= 4 \sqrt{a} + 12 \frac{\sqrt{a}}{3} - a \frac{2 \sqrt{a}}{| a |} + \sqrt{3}$

$= 4 \sqrt{a} + 4 \sqrt{a} - a \frac{2 \sqrt{a}}{a} + \sqrt{3}$

$= 8 \sqrt{a} - 2 \sqrt{a} + \sqrt{3}$

$= 6 \sqrt{a} + \sqrt{3}$

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1: Rút gọn: Rút gọn $3\sqrt 5 a - \sqrt {20} a + 4\sqrt {45a} + \sqrt a$ với a ≥ 0

Hướng dẫn giải

$3\sqrt {5a} - \sqrt {20a} + 4\sqrt {45a} + \sqrt a$

$= 3\sqrt 5 .\sqrt a - \sqrt {4.5} \sqrt a + 4\sqrt {9.5} \sqrt a + \sqrt a$

$= 3\sqrt 5 \sqrt a - 2\sqrt 5 \sqrt a + 12\sqrt 5 \sqrt a + \sqrt a$

$= \sqrt a \left( {3\sqrt 5 - 2\sqrt 5 + 12\sqrt 5 + 1} \right)$

$= \left( {13\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt a$

Bài 2: Chứng minh đẳng thức $\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} = {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2}$ với a > 0,b > 0.

Hướng dẫn giải

Biến đổi vế trái ta có:

$\begin{matrix} VT = \dfrac{{{\text{a}}\sqrt {\text{a}} + {\text{b}}\sqrt {\text{b}} }}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = \dfrac{{\sqrt {{a^2}} \sqrt {\text{a}} + \sqrt {{b^2}} \sqrt {\text{b}} }}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} VT = \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = a - \sqrt {ab} + b - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = a - 2\sqrt {ab} + b = {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = VP \Rightarrow dpcm \hfill \\ \end{matrix}$

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a. $\frac{{{x^2} - 3}}{{x + \sqrt 3 }}$

b. $\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }}$ với a ≥ 0 và a ≠ 1

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định $x \ne - \sqrt 3$

$\frac{{{x^2} - 3}}{{x + \sqrt 3 }} = \frac{{{x^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{x + \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x + \sqrt 3 }} = x - \sqrt 3$

b. Ta có:

$\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} = \frac{{{1^3} - \sqrt {{a^3}} }}{{1 - \sqrt a }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} = 1 + \sqrt a + a$

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

$a) 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5};$

$b) \sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};$

$c) \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};$

$d)\ 0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$a, 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

$= \sqrt {{5^2}.{1 \over 5}} + \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}.20} + \sqrt 5$

$= \sqrt {25.{1 \over 5}} + \sqrt {{1 \over 4}.20} + \sqrt 5$
$= \sqrt {{{25} \over 5}} + \sqrt {{{20} \over 4}} + \sqrt 5$
$= \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 5$
$= \left( {1 + 1 + 1} \right)\sqrt 5 = 3\sqrt 5$

b) Ta có:

$\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$

$= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {{9 \over 2}} + \sqrt {{{25} \over 2}}$
$= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {9.{1 \over 2}} + \sqrt {25.{1 \over 2}}$
$= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {3^2.{1 \over 2}} + \sqrt {5^2.{1 \over 2}}$
$= \sqrt {{1 \over 2}} + 3\sqrt {{1 \over 2}} + 5\sqrt {{1 \over 2}}$
$= \left( {1 + 3 + 5} \right).\sqrt {{1 \over 2}}$
$= 9\sqrt {{1 \over 2}} = 9{1 \over {\sqrt 2 }}$
$= 9.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{9\sqrt 2 } \over 2}$

c) Ta có:

$\sqrt {20} - \sqrt {45} + 3\sqrt {18} + \sqrt {72}$
$= \sqrt {4.5} - \sqrt {9.5} + 3\sqrt {9.2} + \sqrt {36.2}$

$= \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt {{3^2}.5} + 3\sqrt {{3^2}.2} + \sqrt {{6^2}.2}$
$= 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 3.3\sqrt 2 + 6\sqrt 2$
$= 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 9\sqrt 2 + 6\sqrt 2$
$= \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 } \right) + \left( {9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 } \right)$
$= \left( {2 - 3} \right)\sqrt 5 + \left( {9 + 6} \right)\sqrt 2$
$= - \sqrt 5 + 15\sqrt 2 = 15\sqrt 2 - \sqrt 5$

d) Ta có:

$0,1\sqrt {200} + 2\sqrt {0,08} + 0,4.\sqrt {50}$
$= 0,1\sqrt {100.2} + 2\sqrt {0,04.2} + 0,4\sqrt {25.2}$
$= 0,1\sqrt {10^2.2} + 2\sqrt {0,2^2.2} + 0,4\sqrt {5^2.2}$
$= 0,1.10\sqrt 2 + 2.0,2\sqrt 2 + 0,4.5\sqrt 2$
$= 1\sqrt 2 + 0,4\sqrt 2 + 2\sqrt 2$
$= \left( {1 + 0,4 + 2} \right)\sqrt 2 = 3,4\sqrt 2$

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau (với a>0, b>0):

$a, 5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a};$

$b, 5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}$

$=5\sqrt a - 4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt a - 4b\sqrt{(5a)^2.a}+5a\sqrt{(4b)^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt a - 4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}$

$=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}$

$=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a})$

$=(5-6)\sqrt a=-\sqrt{a}$

b) Ta có:

$5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}$

$=5a\sqrt{8^2.b^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{2^2.3.(ab)^2.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{9^2.a^2.ab}$

$=5a\sqrt{(8b)^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{(9a)^2.ab}$

$=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt 3 ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=(40-45)ab\sqrt{ab}$

$=-5ab\sqrt{ab}.$

Bài 6:

Cho biểu thức:

$B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\ với\ x\ge-1$

a) Rút gọn biểu thức $B$ ;

b) Tìm x sao cho $B$ có giá trị là 16.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$

$= \sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1}$

$= \sqrt{4^2(x+1)}-\sqrt{3^2(x+1)}+\sqrt{2^2(x+1)}+\sqrt{x+1}$

$= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$

$=(4-3+2+1)\sqrt{x+1}$

$=4\sqrt{x+1}.$

b) Ta có:

$B = 16 \Leftrightarrow 4\sqrt {x + 1} = 16$

$\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = {{16} \over 4}$

$\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 4$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {4^2}$

$\Leftrightarrow x + 1 = 16$

$\Leftrightarrow x = 16 - 1$

$\Leftrightarrow\ x=15\ (thỏa\ mãn)$

Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:

$a) \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{6}$

$b)\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}=\frac{7}{3}\ với\ x>0.$

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi vế trái ta có:

$VT = \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 3}-4\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 2\sqrt 3}{\sqrt 3 .\sqrt 3}-4.\dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 2}{\sqrt 2.\sqrt 2}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 6}{3}-4\dfrac{\sqrt 6}{2}$

$=3\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}+2\dfrac{\sqrt 6 .2}{3.2}-4\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}$

$=9\dfrac{\sqrt 6}{6}+4\dfrac{\sqrt 6}{6}-12\dfrac{\sqrt 6}{6}$

$=(9+4-12)\dfrac{\sqrt 6}{6}=\dfrac{\sqrt 6}{6}=VP$

b) Biến đổi vế trái ta có:

$VT = \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}} + \sqrt {\dfrac{2x}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$

$= \left( {x\sqrt {{{6x} \over {{x^2}}}} + \sqrt {{{2x.3} \over {{3^2}}}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$
$= \left( {x{{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{x^2}} }} + {{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{3^2}} }} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$
$= \left( {x{{\sqrt {6x} } \over x} + {{\sqrt {6x} } \over 3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$
$= \left( {1.\sqrt {6x} + {1 \over 3}\sqrt {6x} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$
$= \left( {1 + {1 \over 3} + 1} \right)\sqrt {6x} :\sqrt {6x}$
$= {7 \over 3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x}$
$= {7 \over 3}\sqrt {6x} .{1 \over {\sqrt {6x} }} = \dfrac{7}{3} =VP.$

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:

$a) \dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}};$

$b) \sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6};$

$c) (\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84};$

$d) (\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25. 3}-\dfrac{\sqrt{3.11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{1.3+1}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{4^2. 3}-2\sqrt{5^2. 3}-\dfrac{\sqrt 3.\sqrt{11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{4}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}.4\sqrt{ 3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt 4}{\sqrt 3}$

$=\dfrac{4}{2}\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt{4}.\sqrt 3}{\sqrt{3}.\sqrt {3}}$

$=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+10\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$= \left( {2 - 10 - 1 + \dfrac{10}{3} }\right)\sqrt 3$

$=-\dfrac{17}{3}\sqrt 3$

b) Ta có:

$\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5. \sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{25. 6}+\sqrt{1,6. 60}+4,5.\sqrt{\dfrac{2.3+2}{3}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{5^2. 6}+\sqrt{1,6. (6.10)}+4,5\sqrt{\dfrac{8}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{(1,6. 10).6}+4,5\dfrac{\sqrt 8}{\sqrt 3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{16.6}+4,5\dfrac{\sqrt 8 . \sqrt 3}{ 3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{4^2.6}+4,5\dfrac{\sqrt {8 .3}}{ 3}-\sqrt{6}$

$= 5\sqrt{6}+4\sqrt{ 6}+4,5. \dfrac{\sqrt{4.2. 3}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5. 2\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+9\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}.$

Cách 2: Ta biến đổi từng hạng tử rồi thay vào biểu thức ban đầu:

$\sqrt{150}=\sqrt{25.6}=5\sqrt 6$

$\sqrt{1,6.60}=\sqrt{1,6.(10.6)}=\sqrt{(1,6.10).6}=\sqrt{16.6} =4\sqrt{6}$

$4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=4,5.\sqrt{\dfrac{2.3+2}{3}}=4,5.\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\frac{9}{2} .\frac{\sqrt{8.3} }{3} =\frac{\sqrt{24} }{2} =2\sqrt{6}$

Do đó:

$\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5. \sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt 6+4\sqrt 6+3\sqrt 6 - \sqrt 6$

$=(5+4+3-1)\sqrt 6=11\sqrt{6}$

c) Ta có:

$=(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84}$

$=(\sqrt{4.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{4.21}$

$=(\sqrt{2^2.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{2^2.21}$

$=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$= 2\sqrt{7}.\sqrt{7}-2\sqrt{3}.\sqrt{7}+\sqrt{7}.\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$=2.(\sqrt{7})^2-2\sqrt{3.7}+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{21}$

$=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$

$=14-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$

$=14+7=21$

d) Ta có:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}$

$=(\sqrt 6)^2+2.\sqrt 6 .\sqrt 5+(\sqrt 5)^2-\sqrt{4.30}$

$=6+2\sqrt{6.5}+5-2\sqrt{30}$

$=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=6+5=11.$

Bài 9: Rút gọn biểu thức sau:

$a. \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}} với a>0 và b>0$

b. $\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}} với m>0 và x\neq 1.$

Hướng dẫn giải

$a. \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}} với a>0 và b>0$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$

$=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt a}$

$=\dfrac{\sqrt{a}.\sqrt b}{(\sqrt b)^2}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}.\sqrt a}{(\sqrt a)^2}$

$=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{a} =\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$

$={\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b} \right)}+\sqrt{ab} =\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}$

$=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{b\sqrt{ab}}{b} =\dfrac{2+b}{b}\sqrt{ab}.$

b. $\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}} với m>0 và x\neq 1.$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}} =\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}$

$=\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}.\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}} =\sqrt{\dfrac{m}{1}.\dfrac{4m}{81}}=\sqrt{\dfrac{4m^{2}}{81}}$

$=\sqrt{\dfrac{(2m)^2}{9^2}}=\dfrac{|2m|}{9}=\dfrac{2m}{9}.$

(vì m >0 nên |2m|=2m.)

Bài 10: Chứng minh các đẳng thức sau:

$a. \left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1 với a ≥ 0 và a ≠ 1$

$b. \dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right| với a + b > 0 và b ≠ 0$

Hướng dẫn giải

Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

$VT=\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}$

$=\left ( \dfrac{1-(\sqrt{a})^3}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt a)(1+ \sqrt a)} \right )^{2}$

$=\left ( \dfrac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt a+(\sqrt a)^2)}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1}{1+ \sqrt a} \right )^{2}$

$=\left [ (1+\sqrt a+(\sqrt a)^2) +\sqrt{a}\right ]. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}$

$=\left [ (1+2\sqrt a+(\sqrt a)^2)\right ]. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2} =(1+\sqrt a)^2. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}=1=VP.$

$b. \dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right| với a + b > 0 và b ≠ 0$

Ta có:

$VT=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{(ab^2)^2}{(a+b)^2}} =\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{\sqrt{(ab^2)^2}}{\sqrt{(a+b)^2}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{|ab^2|}{|a+b|} =\dfrac{a+b}{b^{2}}.\dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP$

Vì $a+b > 0 \Rightarrow |a+b|=a+b.$

Xem thêm các dạng Toán khác :

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A 2 = | A | (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Bảng căn bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Căn bậc hai (có đáp án năm 2023)

Được cập nhật 05/11/2023 779 lượt xem

Bởi Nguyễn Mai Hoài

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!

Bài viết cùng chủ đề

Toán 9

50 Bài tập Hàm số bậc nhất (có đáp án năm 2024) - Toán 9 chi tiết nhất

1900.edu.vn xin giới thiệu: Hàm số bậc nhất Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

1.5k 10 tháng trước

Toán 9

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

1900.edu.vn xin giới thiệu: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

521 10 tháng trước

Toán 9

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

1900.edu.vn xin giới thiệu: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

624 10 tháng trước

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bình luận (0)

Bài viết cùng chủ đề

50 Bài tập Hàm số bậc nhất (có đáp án năm 2024) - Toán 9 chi tiết nhất

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Nội dung bài viết