Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Ta có bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản hay gặp
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?
A. 7sinx + C.
B. 7cosx + C.
C. –7cosx + C.
D. Tất cả sai.
Lời giải
Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.
Chọn C.
Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:
A. –6cosx - 8sinx + C.
B. 6cosx + 8sinx + C.
C. –6cosx + 8sinx + C.
D. 6cosx - 8sinx + C.
Lời giải
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.
Chọn C.
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx
A. 8cosx - 8sinx.
B. -8cosx - 8sinx.
C. 8cosx + 8sinx.
D. Tất cả sai.
Lời giải
Ta có: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx
Chọn B.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số:
A. tanx + cotx + C.
B. tanx - cotx + C.
C. – tanx + cotx + C.
D. – cotx - tanx + C.
Lời giải
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn A.
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan2x
Lời giải
Ta có:
Chọn B.
Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne
Lời giải
Ta có lne = 1 nên nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn A.
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = sin2x – cos3x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?
Lời giải
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
Chọn C.
Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số y = 2cos6x - 3sin4x có dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?
A. –4. B. 4. C. 2. D. -2.
Lời giải
Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn B.
Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của hàm số:
Lời giải
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn B.
Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = tan2x + 3
A. cot2x + 2x + C.
B. tanx + x + C.
C. tanx + 2x + C.
D. cotx + x + C.
Lời giải
Ta có:
⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn C.
Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 3.sin2x + 5cos2x?
Lời giải
Ta có: 3sin2x + 5cos2x = 3(sin2x + cos2x) + 2cos2x - 1 + 1
= 3.1 + cos2x + 1 = 4 + cos2x
⇒ Nguyên hàm của hàm số là:
Chọn C.
Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = cos4x
Lời giải
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn A.
Ví dụ 13. Tính I = ∫sin2x.cos4x dx
Lời giải
Ta có:
Chọn B.
3. Bài tập vận dụng (có đáp án)
Câu 1: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số: y = 2sin2x - 3cos3x; biết F(0) = 2. Tìm F(x)
A. –2cos2x - 3sin 3x + C.
B. -cos2x – sin3x + C.
C. -cos2x + sin3x + C.
D. Tất cả sai.
Lời giải:
Ta có:
∫(2sin2x - 3cos3x)dx = 2∫sin2x dx - 3∫cos3x dx = -cos2x + sin3x + C.
Do F(0) = 2 nên ta có: F(0) = -1 + 0 + C = 2 ⇔ C = 3.
Vậy F(x) cần tìm là: F(x) = -cos2x + sin3x + C.
Chọn C.
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx.sin5x - 6cosx.cos5x là:
A. –cos6x + C.
B. 6sin6x + C.
C. –6sinx + C.
D. –sin6x + C.
Lời giải:
Ta có: 6.sinx.sin5x - 6cosx.cos5x = -6(-sinx.sin5x + cosx.cos5x) = -6.cos6x.
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn D.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = -20.sin3x.cos3x + 8sin2x
Lời giải:
Ta có: -20sin3x.cos3x = -10.(2.sin3x.cos3x) = -10.sin6x
⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn B.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2tan2x + 3cot2x?
A. 2tanx - 3cotx + C.
B. –2tanx + 3cotx + C.
C. tanx + cotx - 5x + C.
D. 2tanx – 3cotx – 5x + C.
Lời giải:
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn D.
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x3 + 2tan2x
Lời giải:
Ta có:
⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn B.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số:
Lời giải:
Ta có:
⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn B.
Câu 7: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = 3sin6x – 4cos8x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?
Lời giải:
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
Chọn C.
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số y = 4.cos(-2x) + 4sin(-4x) có dạng F(x) = a.sin2x + b.cos4x. Tính a + b?
A. –1. B. 3. C. 2. D. -2.
Lời giải:
Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn B.
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:
Lời giải:
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn B.
Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
Lời giải:
Ta có:
⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn A.
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số y = tan8x.dx
Lời giải:
Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:
∫tan8x dx = ∫[tan6x.(1 + tan2x) - tan4(1 + tan2x) + tan2x.(1 + tan2x) - (1 + tan2x) + 1]dx
= ∫(tan6x - tan4x + tan2 - 1)dtanx + ∫dx.
Chọn D.
Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số y = cosx.cos3x.cos2x
Lời giải:
Ta có:
Do đó, nguyên hàm của hàm số đã cho là:
Chọn A.
Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:
40 Bài tập Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay
30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án
