20 Bài tập Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức

1. Phương pháp giải

a) Lí thuyết

• Với c là hằng số ta có: lim c = c, lim  = 0. Tổng quát lim  (k ≥ 1).

• Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn

- Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

- Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và lim u_n = a thì

• Các phép toán trên dãy có giới hạn vô cực

b) Phương pháp giải:

a) Giới hạn dãy số dạng , trong đó f(n) và g(n) là các biểu thức chứa căn

=> Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy và dùng các kết quả trên để tính.

c) Quy ước:

Biểu thức  có bậc là 

Biểu thức  có bậc là 

b) Giới hạn dãy số dạng  với f(n) và g(n) là các đa thức

=> Rút lũy thừa của n có số mũ cao nhất ra và sử dụng kết quả của giới hạn dãy số tại vô cực để tính.

c) Giới hạn của dãy số dạng vô định () thì ta sử dụng các phép biến đổi liên hợp để đưa dãy số về dạng a) và b).

Các phép biến đổi liên hợp:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giới hạn 

A. I = 1

B. I = - 1

C. I = 0

D. I = + ∞

Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp

Biểu thức liên hợp của biểu thức 

Đáp án B

Ví dụ 2: lim bằng:

A. + ∞

B. - ∞

C. -1

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Ví dụ 3: Tính giới hạn: lim

A. - 1

B. 3

C. +∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Ví dụ 4: Giới hạn lim bằng

A. - 1

B. 1

C. + ∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp bậc ba của biểu thức 

Đáp án A

Ví dụ 5: Tính giới hạn lim

A. 

B. 0

C. + ∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1:  bằng:

A. +∞            B. 4             C. 2            D. -1

Lời giải:

Đáp án: C

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Bài 2:  bằng:

A. 5/7            B. 5/2             C. 1             D. +∞

Lời giải:

Đáp án: C

Hướng dẫn giải. Chia cả tử và mẫu của phân thức cho √n, ta được:

Đáp án là C

Bài 3: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

Lời giải:

Đáp án: C

Cách 1

Đáp án C

Cách 2 (phương pháp loại trừ). Từ các định lí ta thấy:

Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B

Vì 

Do đó loại phương án D

Chọn đáp án C

Bài 4:  bằng:

A. 0

B. 1/4

C. 1/2

D. +∞

Lời giải:

Đáp án: A

chia cả tử thức và mẫu thức cho √n

Đáp án A

Bài 5: 

A. -∞            B. 5            C. 1            D. ∞

Lời giải:

Đáp án: A

Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:

Chọn đáp án A

Bài 6: Nếu limu_n = L, u_n + 9 > 0 ∀n thì lim √(u_n + 9) bằng số nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án: C

vì limu_n = L nên lim⁡(u_n + 9) = L + 9 do đó

Đáp án là C

Bài 7: 

A. 1/4            B. 4            C. 1/2            D. 1

Lời giải:

Đáp án: D

Nếu a = 1 thì ta có đpcm

Đáp án là D

Bài 8:  bằng:

A. 0

B. 1

C. 2

D. +∞

Lời giải:

Đáp án: B

Cách 1. Chia tử thức và mẫu thức cho n:

Đáp án là B

Cách 2. Thực chất có thể coi bậc cao nhất của tử thức và mẫu thức là 1, do đó chỉ cần để ý hệ số bậc 1 của tử thức là √4, của mẫu thức là 2, từ đó tính được kết quả bằng 1.

Đáp án B

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

30 Bài tập Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa (2024) cực hay, có đáp án

Bài toán tính tổng của dãy số (2024) chi tiết nhất

70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024)

20 Bài tập Cách tính giới hạn của hàm số có chứa trị tuyệt đối (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2023)