Bài toán tính tổng của dãy số (2024) chi tiết nhất

 BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

1. Cách giải bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............

Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số: 4028

Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.

Bài giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:

2013 - (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?

Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.

Bài giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

(15 - 1) x 2 = 28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:

915 x 2 : 15 = 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:

(122 - 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.

 a, Tính tổng của dãy số trên?

 b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?

 c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

Lời giải:

a, Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 3 đơn vị

Số số hạng: (2014 - 1) : 3 + 1 = 672 (số)

Tổng của dãy số là: (2014 + 1) x 672 : 2 = 677040

 b, Số hạng thứ 99 của dãy là: 1 + (99 - 1) x 3 = 295

 c, Nhận thấy 4 = 1 x 3 + 1; 7 = 2 x 3 + 1;…; 2014 = 671 x 3 + 1

Nên 1995 – 1 = 1994 phải chia hết cho 3 mới thuộc dãy số. Mà phép chia 1994 cho 3 là phép chia có dư nên 1995 không thuộc dãy số.

Bài 2: Tìm TBC các số chẵn có 3 chữ số?

Lời giải:

Dãy số chẵn có ba chữ số là 100, 102, 103, …, 998

Số số hạng của dãy số là: (998 - 100) : 2 + 1 = 450 (số)

Tổng của dãy số là: (998 + 1) x 450 : 2 = 224775

Trung bình cộng của dãy số là: 224775 : 450 = 499,5

Bài 3: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010?

Lời giải:

Số đầu của dãy số là: 2010 – (60 – 1) x 2 = 1892

Tổng của dãy số là: (2010 + 1892) x 60 : 2 = 117060

Bài 4: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?

Lời giải:

Số cuối của dãy số là: 1 + (2014 - 1) x 2 = 4027

Tổng của dãy số là: (4027 + 1) x 2014 : 2 = 4056196

Bài 5: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100 số hạng?

Lời giải:

Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 4 đơn vị

Số cuối của dãy số là: 1 + (100 - 1) x 4 = 397

Tổng của dãy số là: (397 + 1) x 100 : 2 = 19900

Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?

Lời giải:

Vì tổng số nhà của dãy số đó bằng 2000 nên tổng của số nhà đầu và số nhà cuối là:

2000 x 2 : 20 = 200

Vì dãy số có 20 nhà nên hiệu của số nhà cuối với số nhà đầu là:

(20 - 1) x 2 = 38

Số nhà cuối là: (200 + 38) : 2 = 119

4. Bài tập nâng cao (có hướng dẫn)

Bài 1: Tính nhanh:

2015. 5 + 10 + 15 + ............ + 2015.
2016. 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 12 + ................ + 96 + 99 + 102.
2017. 1,02 + 2,03 + 3,04 + ..................... + 9,10.
2018. 10,11 + 11,12 + 12,13 + ................ + 98,99 + 99,100.

(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)

Bài 2: Tìm x:

1. (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ............ + (x + 99) = 90387
2. (1 + 4 + 7 + .......................... + 100) : x = 17

Bài 3: Cho dãy số: 1; 4; 7; ...................... ; 2017.

1. Tính tổng của dãy số trên?
2. Tìm số thứ 99 của dãy số?
3. Số 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao? (Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)

Bài 4: Tìm trung bình cộng của các số lẻ có 3 chữ số? (Violympic lớp 4)

Bài 5: Tính tổng các số có 4 chữ số chia hết cho cả 3 và 5? (Violympic lớp 4)

Bài 6: Một dãy phố có 25 nhà. Số nhà của 25 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy phố đó bằng 1400. Hãy cho biết số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố đó là số nào? (Violympic lớp 5)

Bài 7: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy số đó là số 2018? (Violympic lớp 5)

Bài 8: Cho tổng: A = 0 + 5 + 10 + 15 + .............. + x. Tìm x biết tổng A có 99 số hạng? (Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 9: Cho tổng: B = 0,3 + 1,3 + 2,3 + 3,3 + .............. + y. Tìm y biết tổng B có 55 số hạng?

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 10: Cho dãy số: 0; 1; 2; 3; 4; ..............................; 2018 Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số? (Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 11: Một cuốn sách có 200 trang. Hỏi người ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số trang của cuốn sách đó? (Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 12: Cho dãy số: 1; 2; 3; .............. ; x. Chữ số thứ 2018 được dùng để viết dãy số trên là chữ số nào?

Bài 13: Tích sau có tận cùng là chữ số nào?

0,9 x 1,9 x 2,9 x 3,9 x ... x 17,9 x 18,9.

(Bài trên trang web Câu lạc bộ Toán Tiểu học Lộc Hà)

Bài 14: Cho dãy số tự nhiên: 19; 28; 37; 46; ..........

1. Tìm số thứ 1997 của dãy.
2. Số 19971998; 19981999 có mặt trong dãy số đó không? Vì sao?

(Đề thi HSG Quận Hai Bà Trưng – Hà Nội – Năm học 1996 - 1997)

Bài 15: Tìm trung bình cộng của 22 số lẻ đầu tiên?

(Đề thi HSG Quận Hai Bà Trưng – Hà Nội – Năm học 1997 - 1998)

Bài 16: Tính nhanh:

1011 + 1112 + 1213 + 1314 + ............... + 9899 + 9910

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 1997 - 1998)

Bài 17: Tính nhanh:

1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + ........... + 301 + 302

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 1998 - 1999)

Bài 18: Cho dãy số: 14; 16; 18; .................; 94; 96; 98.

1. Tính tổng giá trị của dãy số trên.
2. Tìm số có giá trị lớn hơn trung bình cộng của dãy số là 8. Cho biết số đó là số thứ bao nhiêu của dãy số trên?

(Đề thi HSG huyện Đông Sơn - tỉnh Thanh Hóa – Năm học 1998 - 1999)

Bài 19: Cho dãy số: 36; 45; 54; .............

1. Hãy viết thêm 3 số thích hợp vào dãy số trên.
2. Số thứ 20 của dãy số trên là số nào?
3. Số 3469 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

(Đề thi HSG huyện Đông Sơn - tỉnh Thanh Hóa – Năm học 1999 - 2000)

Bài 20: Tính nhanh:

17,75 + 16,25 + 14,75 + 13,25 + ................. + 4,25 + 2,75 + 1,25

(Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Tây – Năm học 1995 - 1996)

Bài 21: Cho dãy số: 3; 7; 11; 15; .................; 79

1. Dãy số có bao nhiêu số hạng?
2. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện:

(n + 3) + (n + 7) + (n + 11) + (n + 15) + ............ + (n + 79) = 860

(Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên toán trường THCS Thị xã Hải Dương Năm học 1995 - 1996)

Bài 22: Cho dãy số: 4; 6; 8; 10; ..............; 1910.

1. Hãy tính số chữ số của dãy?
2. Hãy tìm chữ số thứ 1996 của dãy?

(Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên toán trường THCS Nguyễn Trường Tộ Năm học 1996 - 1997)

Bài 23: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên: 123456...........

1. Hỏi chữ số hàng đơn vị của số 1998 đứng ở hàng thứ mấy?
2. Chữ số viết ở hàng thứ 429 là chữ số nào?

(Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh – Năm học 1997 - 1998)

Bài 24: Cho dãy số: 1; 7; 13; 19; 25; ..............

Hãy cho biết các số sau đây có thuộc dãy số đã cho hay không? Tại sao?

351; 400; 570; 686; 1075

Lời giải:

Bài 1:

1. Số số hạng của dãy số là: (2015 - 5) : 5 + 1 = 403 (số)

Tổng của dãy số là: (2015 + 5) x 403 : 2 = 407030

1. 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 12 + ................ + 96 + 99 + 102

Số số hạng của dãy số 3, 6, 9, …, 99, 102 là: (102 - 3) : 3 + 1 = 34

Tổng của dãy số 3, 6, 9, …, 99, 102 là: (102 + 3) x 34 : 2 = 1785

Tổng trên bằng: 1 + 2 + 1785 = 1788

1. Số số hạng của dãy số là: (9,1 – 1,02) : 1,01 + 1 = 9 (số)

Tổng của dãy số là: (9,1 + 1,02) x 9 : 2 = 45,54

1. Số số hạng của dãy số 10,11; 11,12; 12,13; …; 98,99 là: (98,99 – 10,11) : 1,01 + 1 = 89 (số)

Tổng của dãy số 10,11; 11,12; 12,13; …; 98,99 là: (98,99 + 10,11) x 89 : 2 = 4854,95

Tổng trên bằng: 4854,95 + 99,100 = 4954,05

Bài 2:

1. (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ............ + (x + 99) = 90387

x + 1 + x + 2 + x + 3 + … + x + 99 = 90387

99 x x + 1 + 2 + 3 + … + 99 = 90387

99 x x + (99 + 1) x 99 : 2 = 90387

99 x x = 90387 – 4950

99 x x = 85437

x = 85437 : 99 = 863

1. (1 + 4 + 7 + .......................... + 100) : x = 17

x = (1 + 4 + …. + 100) : 17

x = (100 + 1) x 34 : 2 : 17

x = 101

Bài 3:

a, Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 3 đơn vị

Số số hạng: (2014 - 1) : 3 + 1 = 672 (số)

Tổng của dãy số là: (2014 + 1) x 672 : 2 = 677040

 b, Số hạng thứ 99 của dãy là: 1 + (99 - 1) x 3 = 295

 c, Nhận thấy 4 = 1 x 3 + 1; 7 = 2 x 3 + 1;…; 2014 = 671 x 3 + 1

Nên 1995 – 1 = 1994 phải chia hết cho 3 mới thuộc dãy số. Mà phép chia 1994 cho 3 là phép chia có dư nên 1995 không thuộc dãy số

Bài 4:

Dãy số gồm các số lẻ có ba chữ số là 101, 103, …, 999

Số số hạng của dãy số: (999 - 101) : 2 + 1 = 450 (số)

Tổng của dãy số là: (999 + 101) x 450 : 2 = 247500

Trung bình cộng của dãy số: 247400 : 450 = 550

Bài 5: Tính tổng các số có 4 chữ số chia hết cho cả 3 và 5? (Violympic lớp 4)

Bài 6:

Vì tổng số nhà của dãy số đó bằng 1400 nên tổng của số nhà đầu và số nhà cuối là:

1400 x 2 : 25 = 112

Vì dãy số có 25 nhà nên hiệu của số nhà cuối với số nhà đầu là:

(25 - 1) x 2 = 48

Số nhà cuối là: (112 + 48) : 2 = 80

Số nhà đầu là: (112 – 48) : 2 = 32

Bài 7:

Số đầu của dãy số là: 2018 – (60 - 1) x 2 = 1900

Tổng của dãy số là: (2018 + 1900) x 60 : 2 = 117540

Bài 8: x là: 0 + (99 - 1) x 5 = 490

Bài 9: y là: 0,3 + (55 - 1) x 1 = 54,3

Bài 10: Số số hạng của dãy số: (2018 - 0) : 1 + 1 = 2019 (số)

Bài 11:

Từ 1 đến 9 người ta cần dùng 9 chữ số để đánh dấu trang

Từ 10 đến 99 người ta cần dùng (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số, hay người ta cần 90 x 2 = 180 chữ số để đánh dấu trang

Từ 100 đến 200 người ta cần dùng (200 – 100) : 1 + 1 =101 số, hay người ta cần 101 x 3 = 303 chữ số để đánh dấu trang

Số chữ số cần để đánh dấu trang là: 9 + 180 + 303 = 492 (chữ số)

Bài 12: Số 2018 của dãy trên là số: 1 + (2018 - 1) x 1 = 2018

Bài 13:

Nhận thấy cứ ba số lại có tận cùng bằng 9

Dãy trên có 10 số nên chữ số tận cùng bằng 1

Bài 14:

a, Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 9 đơn vị

Số 1997 của dãy là số: 19 + (1997 - 1) x 9 = 17983

b, Giả sử số 19971998 thuộc dãy số thì số số hạng của dãy là:

(19971998 - 19) : 9 + 1 = 2219109,778 (vô lý vì số số hạng của dãy là một số tự nhiên)

Vậy số 19971998 không thuộc dãy số

Giả sử số 19981999 thuộc dãy số thì số số hạng của dãy là:

(19981999 – 19) : 9 + 1 = 2220221 (thỏa mãn) nên số 19981999 thuộc dãy số trên

Bài 15:

Số lẻ cuối cùng của dãy trên là: 1 + (22 - 1) x 2 = 43

Tổng của 22 số lẻ đầu tiên bằng: (43 + 1) x 22 : 2 = 484

Trung bình cộng của 22 số lẻ đầu tiên là: 484 : 22 = 22

Bài 16:

Từ 1011 đến 9899 tổng của dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 101 đơn vị

Số số hạng của dãy số: (9899 - 1011) : 101 + 1 = 89 (số)

Tổng của dãy số trên là: (9899 + 1011) x 89 : 2 + 9910 = 495405

Bài 18:

1. Số số hạng của dãy số trên: (98 - 14) : 2 + 1 = 43 (số)

Tổng của dãy số trên là: (98 + 14) x 43 : 2 = 2408

1. Trung bình cộng của dãy là số: 2408 : 43 = 56

Số cần tìm là số: 56 + 8 = 64

Số đó là số thứ: (64 - 14) : 2 + 1 = 26

Bài 19:

1. Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 9 đơn vị

3 số tiếp theo là: 63, 72, 81

1. Số thứ 20 của dãy là số: 36 + (20 - 1) x 9 = 207
2. Giả sử số 3469 thuộc dãy số trên. Số số hạng của dãy là: (3469 - 36) : 9 + 1 = 382,4 (vô lý vì số số hạng là một số tự nhiên)

Vậy 3469 không thuộc dãy số trên

Bài 20:

Số số hạng của dãy số trên là: (17,75 – 1,25) : 1,5 + 1 = 12 (số)

Tổng của dãy số là: (1,25 + 17,75) x 12 : 2 = 114

Tính tổng của dãy số không có quy luật cách đều

1. Cách giải bài toán tính tổng của dãy số không có quy luật cách đều

+ Đối với dạng toán tính tổng của dãy số không cách đều ta không thể áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều nên ta sẽ làm theo hai cách sau:

- Cách 1: Nhóm thành các tổng, mỗi tổng có giá trị bằng 0 (cách này thường áp dụng khi trong dã số có cả dấu cộng hoặc dấu trừ đan xen nhau)

- Cách 2: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu của hai số khác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + …+ 98 x 99 + 99 x 100

Nhận xét:

Ta thấy 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12,… đây không phải là dãy số cách đều

Lời giải:

3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + … + 98 x 99 x 3 + 99 x 100 x 3

= 1 x 2 x (3 - 0) + 2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) + … + 98 x 99 x (100 - 97) + 99 x 100 x (101 - 98)

= 1 x 2 x 3 – 1 x 2 x 0 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + … + 98 x 99 x 100 – 97 x 98 x 99 + 99 x 100 x 101 – 98 x 99 x 100

= 99 x 100 x 101

Suy ra 

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính tổng A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + …+ 98 x 99 + 99 x 100

Bài giải:

Xác định quy luật: 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12,…, ta thấy đây là dãy số không cách đều

Nhân hai vế với 3, ta có:

3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + … + 98 x 99 x 3 + 99 x 100 x 3

= 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2) + … + 98 x 99 x (100 – 97) + 99 x 100 x (101 – 98)

= 1 x 2 x 3 – 1 x 2 x 0 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + … + 98 x 99 x 100 – 97 x 98 x 99 + 99 x 100 x 101 – 98 x 99 x 100

= 99 x 100 x 101

Như vậy: A = (99 x 100 x 101) : 3 = 333300

Xem thêm các dạng bài tập Toán hay khác: