500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024)

Giới hạn

Kiến thức cần nhớ

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

+) Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

+) Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}\right)=0$

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ hay v_n → a khi n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\mathrm{n}}=0,\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}}=0$ với k nguyên dương;

b) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}$ nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ ta viết tắt là lim u_n = a.

ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

+) Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

lim (u_n + v_n) = a + b

lim (u_n – v_n) = a – b

lim (u_n.v_n) = a.b

$\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ (nếu $\mathrm{b}\ne 0$)

Nếu ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\ge 0$ với mọi n và limu_n­ = a thì:

$\lim \sqrt{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{a}}$ và $\mathrm{a}\ge 0.$

TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$\mathrm{S}={\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_2+{\mathrm{u}}_3+...+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}+...$

$=\frac{{\mathrm{u}}_1}{1-\mathrm{q}}\left(\left|\mathrm{q}\right|<1\right)$

GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=0$

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=+\infty$

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}.{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=+\infty$.

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0,\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$ với c là hằng số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{M}$. Khi đó:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}+\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}-\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}.\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{M}}\left(\mathrm{M}\ne 0\right); \end{gathered}$$

b) Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ thì $\mathrm{L}\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{L}}.$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$).

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

Định lí 2

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}\iff \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};$$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0.$

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\infty$

Nhận xét:

 $$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \\ \iff \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=-\infty \end{gathered}$$

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$;

Nếu k lẻ thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=-\infty$.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

$\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+},\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-};\mathrm{x}\to +\infty ;\mathrm{x}\to -\infty .$

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

Lời giải

Đặt f(x) = x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có:

f(0) = –2 < 0

f(1) = 1 > 0

f(2) = -8 < 0

f(3) = 13 > 0

f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)

f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).

Bài 2. Giới hạn của các dãy số sau:

a) ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{3{\mathrm{n}}^3+2\mathrm{n}-1}{2{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}}$

b) u_n = 5ⁿ – 2ⁿ;

c) $\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}-\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}\right)$

Lời giải

a) ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}=\lim \frac{3+\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}}{\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}$

Vì $\lim \left(3+\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)=3>0$, $\lim \left(\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right)=0$ và $\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}>0$ với mọi  nên theo quy tắc 3, ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}=+\infty$.

b) Ta có $5^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}=5^{\mathrm{n}}\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{n}}\right)$

Vì ${\text{lim5}}^{\mathrm{n}}=+\infty$ và $\lim \left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{n}}\right)=1>0$ nên theo quy tắc 2, $\lim \left(5^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}\right)=+\infty$

c)

$\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}-\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}\right)$

$$\begin{gathered} =\lim \frac{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1-{\mathrm{n}}^2}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}+\mathrm{n}}+ \\ \lim \frac{{\mathrm{n}}^3-{\mathrm{n}}^3-3\mathrm{n}-2}{{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}+\sqrt[3]{{\left({\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2\right)}^2}} \\ =\lim \frac{\mathrm{n}+1}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}+\mathrm{n}}+ \\ \lim \frac{-3\mathrm{n}-2}{{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}+\sqrt[3]{{\left({\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2\right)}^2}} \\ =\lim \frac{1+\frac{1}{\mathrm{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}+1}+ \\ \lim \frac{-\frac{3}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}}{1-\sqrt[3]{1+\frac{3}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}}+\sqrt[3]{{\left(1+\frac{3}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right)}^2}} \\ =\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

Bài 3. a) Xét tính liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ của hàm số: $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2}\mathrm{khi}\mathrm{x}>2\\ 5-\mathrm{x}\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 2.\end{array}\right.$

b) Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}\mathrm{x}<0\\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\ge 0\end{array}\right.$ tại $\mathrm{x}=0$

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là $\mathrm{ℝ}$

Với x > 2 thì hàm $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2}$ là hàm phân thức nên liên tục trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$.

Với x < 2 thì hàm g(x) = 5 – x là hàm đa thức nên liên tục trên $\left(-\infty ;2\right)$.

Tại x = 2, ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)}{\mathrm{x}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\left(\mathrm{x}+1\right)=3 \\ \underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\left(5-\mathrm{x}\right)=3 \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(2\right)=3 \end{gathered}$$

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.

b) Ta có: $\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\left(\mathrm{x}+2\mathrm{a}\right)=2\mathrm{a}$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)=1$

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì $\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\iff 2\mathrm{a}=1\iff \mathrm{a}=\frac{1}{2}.$

Vậy $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

Bài 4. Chứng minh phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+15{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}+2}=3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$ có 5 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

 $$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+15{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}+2={\left(3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}^2 \\ \iff {\mathrm{x}}^5-9{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+18{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+1=0 \end{gathered}$$

Hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^5-9{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+18{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+1$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}(-2)=-95<0,\mathrm{f}(-1)=1>0, \\ \mathrm{f}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{19}{32}<0 \\ \mathrm{f}\left(0\right)=1>0,\mathrm{f}\left(2\right)=-47<0, \\ \mathrm{f}\left(10\right)=7921>0 \end{gathered}$$

Do đó phương trình  có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng $\left(-2;-1\right), \left(-1;-\frac{1}{2}\right), \left(-\frac{1}{2};0\right),$$\left(0;2\right), \left(2;10\right)$

Mặt khác  là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

Bài 5. Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathrm{A}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{(4\mathrm{x}+1)}^3{(2\mathrm{x}+1)}^4}{{(3+2\mathrm{x})}^7}$;

b)  $\mathrm{B}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{3{\mathrm{x}}^2-2}+\sqrt{\mathrm{x}+1}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}-1}$;

Lời giải

a) Ta có: $\mathrm{A}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(4+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^3{\left(2+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^4}{{\left(\frac{3}{\mathrm{x}}+2\right)}^7}=8$

b) Ta có:

 $$\begin{gathered} \mathrm{B}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\left|\mathrm{x}\right|\sqrt{3-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}+\left|\mathrm{x}\right|\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}{\left|\mathrm{x}\right|\left(\sqrt{1+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}-\frac{1}{\left|\mathrm{x}\right|}\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{3-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}-\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}{-\left(\sqrt{1+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}-\frac{1}{\left|\mathrm{x}\right|}\right)}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

Bài 6. Tính giới hạn các hàm số sau:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+3}-2};$

b) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3-9};$

c) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+1}-1\right);$

d) $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\left({\mathrm{x}}^2-1\right){\left(1-2\mathrm{x}\right)}^5}{{\mathrm{x}}^3-9};$

Lời giải

a)

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-1}{\sqrt{\mathrm{x}+3}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}-2\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\mathrm{x}-1} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}+3}+2}{\sqrt{\mathrm{x}}+1}=\frac{4}{2}=2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3-9} \\ =\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}+3}{1-\frac{9}{{\mathrm{x}}^3}} \\ =\frac{3}{1}=3 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right) \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}.\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right)=0 \end{gathered}$$

( Vì $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}=\infty ;\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+1}-1\right)=0$).

d)

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(x^2-1\right){\left(1-2x\right)}^5}{x^7+x+3} \\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right){\left(\frac{1}{x}-2\right)}^5}{1+\frac{1}{x^6}+\frac{3}{x^7}} \\ =\frac{-2}{1}=-2 \end{gathered}$$

Bài 7.Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1-2x}{4x+1}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2+4}{x^2-2}$.

Lời giải

a) Xét hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1-2\mathrm{x}}{4\mathrm{x}+1}$

Tập xác định của hàm số: $ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{4}\right\}$.

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn $x_n\ne -\frac{1}{4}$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$. Ta có:

$\underset{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\underset{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2}{\lim }\frac{1-2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}{4{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+1}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}.$

Do đó $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}}{4\mathrm{x}+1}=-\frac{1}{3}.$

b) Xét $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{3{\mathrm{x}}^2+4}{{\mathrm{x}}^2-2}$

Tập xác định của hàm số: $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{\pm \sqrt{2}\right\}$

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\ne \pm \sqrt{2}$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to -\infty$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$. Ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{g}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{3{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}^2+4}{{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}^2-2}=3$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{3{\mathrm{x}}^2+4}{{\mathrm{x}}^2-2}=3.$

Bài 8. Cho hàm số: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3-1}\mathrm{khi}\mathrm{x}>1\\ \mathrm{mx}+2\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 1\end{array}\right.$

Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi $\mathrm{x}\to 1$? Tìm giới hạn này.

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3-1}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-3}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}=\frac{3}{3}=1 \\ \underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(\mathrm{mx}+2\right) \\ =\mathrm{m}+2 \end{gathered}$$

Để hàm số f(x) có giới hạn khi $x\to 1$ thì $\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} \iff \mathrm{m}+2=1 \\ \iff \mathrm{m}=-1 \end{gathered}$$

Khi đó: $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1$.

Vậy m = -1 thì hàm số f(x) có giới hạn khi $x\to 1$ và giới hạn đó bằng 1.

Bài 9:

Lời giải:

Bài 10:

Lời giải:

Bài 11:

Lời giải:

Bài 12:

Lời giải:

Bài 13:

Lời giải:

Bài 14:

Lời giải:

Bài 15:

Lời giải:

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

70 Bài tập về hàm số liên tục (2024) có đáp án hay nhất- Toán 11

70 Bài tập về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (có đáp án năm 2023) - Toán 11

70 Bài tập về quy tắc tính đạo hàm (có đáp án năm 2023) - Toán 11

70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2023) - Toán 11

70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2023) - Toán 11