70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập giới hạn của hàm số Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Kiến thức cần nhớ

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xnK\x0 và xnx0, ta có: f(xn)L

Kí hiệu:limxx0f(x)=L hay f(x)L khi xx0.

Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limxx0fx=fx0.

* Giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xnx0 thì f(xn)+.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x)  có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xnx0 thì f(xn).

Kí hiệu: limxx0f(x)=.

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực

* Giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (a;+) có giới hạn là L khi x+ nếu với mọi dãy số (xn):xn>a và xn+ thì f(xn)L.

Kí hiệu: limx+f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (;b) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số (xn):xn<b và xn thì f(xn)L.

Kí hiệu: limxf(x)=L.

* Giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (a;+) có giới hạn dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x+ nếu với mọi dãy số (xn):xn>a và xn+ thì f(xn)+ (hoặc f(xn)).

Kí hiệu: limx+f(x)=+ (hoặc limx+f(x)=-).

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (;b) có giới hạn là dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x nếu với mọi dãy số (xn):xn<b và xn thì f(xn)+. (hoặc f(xn)).

Kí hiệu: limx-f(x)=+ (hoặc limx-f(x)=).

3. Các giới hạn đặc biệt

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

4. Một vài định lý về giới hạn hữu hạn

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Chú ý:

- Các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay xx0 bởi x+ hoặc x-.

- Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu g(x)f(x)h(x)  xKlimxx0g(x)=limxx0h(x)=L thì .

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)g(x)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

6. Giới hạn một bên

* Giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x0;b,x0. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số bất kì (xn) những số thuộc khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limxx0+fx=L hoặc fxL khi xx0+.

- Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a;x0,x0. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kì (xn) những số thuộc khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limxx0fx=L hoặc fxL khi xx0.

- Nhận xét:

limxx0fx=Llimxx0fx=limxx0+fx=L

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay xx0 bởi xx0 hoặc xx0+.

* Giới hạn vô cực:

- Các định nghĩa limxx0fx=+,  limxx0fx=limxx0+fx=+ và limxx0+fx= được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

- Nhận xét: Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bởi + hoặc -

Các dạng toán về giới hạn của hàm số

Dạng 1: Giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limxx0fx=fx0

- Áp dụng quy tắc về giới hạn tới vô cực:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 2: Giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) limx+(7x5+5x2x+7)

b) limx4x53x3+x+1

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a) limx+x6+5x1

b) limx2x2+1+x

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu g(x)f(x)h(x)  xKlimxx0g(x)=limxx0h(x)=L thì limxx0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cho limxx0g(x)=limxx0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:

1sinx11cosx1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a) limx0x2cos2nx

b) limxcos5x2x

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số: limx+2sinx+cos3xx+1x

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 4: Giới hạn dạng vô định 00

Nhận biết dạng vô định 00Tính limxx0f(x)g(x) trong đó f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó limxx0f(x)g(x)=limxx0f1(x)g1(x), nếu giới hạn này có dạng 00 thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)mc thì ta phân tích: 

u(x)nv(x)m=(u(x)nc)(v(x)mc)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) limx1x33x2+2x24x+3

b) limx22x25x+2x38

Lời giải

a) limx1x33x2+2x24x+3

=limx1(x1)(x22x2)(x1)(x3)=limx1x22x2x3=32

b) limx22x25x+2x38

=limx2(2x1)(x2)(x2)(x2+2x+4)=limx22x1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 5: Giới hạn dạng vô định 

Nhận biết dạng vô định 

limxx0uxvx khi limxx0ux=±,limxx0vx=±

limx±uxvx khi limxx0ux=±,limxx0vx=±

Phương pháp giải:

- Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 6: Giới hạn dạng vô định   và 0.

Phương pháp giải:

- Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

- Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a) limx01x1x2

b) limx01x1x+11

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính giới hạn tới vô cực

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1) 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Cho hàm số fx=x2+11xkhix<12x2khix1. Tính:

a) limx1+fx

b) limx1fx

Lời giải

a) limx1+fx=limx1+2x2=2.12=0

b) limx1fx=limx1x2+11x=+ vì limx1x2+1=2>0limx11x=0x1x<11x>0

Dạng 8: Tìm tham số m để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước

Phương pháp giải:

Sử dụng nhận xét: limxx0fx=Llimxx0fx=limxx0+fx=L

- Tính giới hạn limxx0fx;  limxx0+fx

- Để hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước thì limxx0fx=limxx0+fx. Tìm m.

Khi đó với m vừa tìm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước và giới hạn đó bằng L=limxx0fx=limxx0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số fx=x23x+2x2      x>2a                       x2. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx2+fx=limx2+x23x+2x2=limx2+x1x2x2=limx2+x1=1

limx2fx=a.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx2+fx=limx2fx.

a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m3khi x<12m13khi x=117x2+2khi x>1 để hàm số  để tồn tại limx1fx.

Lời giải

Ta có limx1fx=limx1m3=m3limx1+fx=limx1+17x2+2=2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx1fx=limx1+fx.

m3=2m=1

Vậy m = 1.

Bài tập (có hướng dẫn)

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính limx13x1x1 bằng:

A. -1

B. -

C. +

D. -3     

Câu 2. Tính limx+2x213x2 bằng:

A. -2 

B. 13

C. 23

D. 2

Câu 3. Tính limx2x38x24 bằng:

A. 3

B. 1 

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx4x2+3x4x2+4x bằng:

A. -1

B. 54

C.  1

D. -54

Câu 5. Tính limx1x31x1 bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2       

Câu 6. Tính limx0x3+11x2+x bằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx4x2x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx+x+5x7 bằng:

A. -

B. +

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx2x5+x433x27 là:

A. 0

B. +

C. -2

D. -

Câu 10. Tính limx+x24xx

A. -2

B. -

C. 0

D. +

Câu 11. Cho limxx2+ax+5+x=5. Giá trị của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx1x31x41 bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. limxx4x12x=0

B.  limxx4x12x=+

C.  limxx4x12x=1

D.  limxx4x12x=

Câu 14. Cho fx=4x2      2x2x24x2                         x>2. Tính limx2+fx.

A. 0

B. 4

C. +

D. Không tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+mkhi  x<0x2+1khi  x0 có giới hạn tại x = 0.

A. m = - 1

B. m = 2

C. m = -2

D. m = 1

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

A

A

B

A

C

A

C

B

A

C

C

B

A

D

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem thêm trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

70 Bài tập về hàm số liên tục (2024) có đáp án hay nhất- Toán 11

500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2023) - Toán 11

300 Bài tập Toán 11 chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 1)
Trang 1
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 2)
Trang 2
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 3)
Trang 3
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 4)
Trang 4
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 5)
Trang 5
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 6)
Trang 6
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 7)
Trang 7
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!