Cách tìm tập xác định của phương trình hay, chi tiết
Lý thuyết và Phương pháp giải
1. Khái niệm phương trình một ẩn
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg.
Đặt D = Df ∩ Dg. Mệnh đề chứa biến "f(x) = g(x)" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình.
Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu "f(xo) = g(xo)" là một mệnh đề đúng.
2. Phương trình tương đương
Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Nếu phương trình f1(x) = g1(x) tương đương với phương trình f2(x) = g2(x) thì viết
f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x)
Định lý 1: Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D và y = h(x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên miền D, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:
(1): f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
(2): f(x).h(x) = g(x).h(x) với h(x) ≠ 0, ∀x ∈ D.
3. Phương trình hệ quả
Phương trình f1(x) = g1(x) có tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f2(x) = g2(x) có tập nghiệm S2 nếu S1 ⊂ S2.
Khi đó viết:
f1(x) = g1(x) ⇒ f2(x) = g2(x)
Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho: f(x) = g(x) ⇒ [f(x)]2 = [g(x)]2.
Lưu ý:
+ Nếu hai vế của 1 phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương 2 vế của nó, ta được một phương trình tương đương.
+ Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai.
4. Phương pháp giải tìm tập xác định của phương trình
- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f(x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).
- Điều kiện để biểu thức
+ √(f(x)) xác định là f(x) ≥ 0
+ 1/f(x) xác định là f(x) ≠ 0
+ 1/√(f(x)) xác định là f(x) > 0
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khi giải phương trình √(x2 - 5) = 2 - x (1), một học sinh tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
x2 - 5 = (2 - x)2 (2)
Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 4x = 9
Bước 3: (2) ⇔ x = 9/4
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 9/4
Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
Lời giải:
Vì phương trình (2) là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x = 9/4 vào phương trình (1) để thử lại. Nên sai ở bước thứ 3.
Ví dụ 2: Khi giải phương trình
một học sinh tiến hành theo các bước sau:
Bước 1:
Bước 2:
Bước 3: ⇔ x = 3 ∪ x = 4
Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = {3; 4}
Cách giải trên sai từ bước nào?
Lời giải:
Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên nên sai ở bước 2.
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của phương trình
Lời giải:
Điều kiện xác định: x2 + 1 ≠ 0 (luôn đúng)
Vậy TXĐ: D = R.
Ví dụ 4: Tìm tập xác định của phương trình
Lời giải:
Điều kiện xác định:
Vậy TXĐ: R\{-2; 0; 2}
Ví dụ 5: Tìm tập xác định của phương trình
Lời giải:
Điều kiện xác định:
Ví dụ 6: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Lời giải:
Điều kiện xác định: 4 - 5x > 0 ⇔ x < 4/5 (luôn đúng)
Vậy TXĐ: D = (-∞; 4/5)
Ví dụ 7: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Lời giải:
Điều kiện xác định:
Vậy TXĐ: D = [2; 7/2)\{3}
Bài tập (có đáp án)
(Xem chi tiết trong file đính kèm bên dưới)
Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:
200 Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
100 Bài tập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
500 Bài tập Toán 10 bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (2024) có đáp án
300 Bài tập Toán 8 chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn (có đáp án năm 2023)
