Bài tập về công thức tính min max lớp 9 ,10 ,11, 12
I. Lý thuyết
- Lớp 9:
+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số
- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.
- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.
+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
- |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
- |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0
- Lớp 10:
Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài không cho sẵn)
Bước 2: Tính và giải phương trình
Bước 3: Tính và
Bước 4: So sánh và kết luận.
- Lớp 11:
Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:
+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1
+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1
+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1;b2) khi đó ta có:
(a1.b1+ a2.b2 )2 ≤ ( a12+ a22 ).( b12+ b22 )
Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2
+ Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].
+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2
- Lớp 12:
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn
+ Tìm các điểm mà tại đó không xác định
+ Tính
+ Khi đó
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất
Có
Lại có
Dấu “=” xảy ra
Min
Vậy Max
Ví dụ 2: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
a, với x > 0, x ≠ 1
b, với x > 0, x ≠ 1
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn)
Vậy max
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.
A. M=3 ; m= - 1.
B. M= 1 ; m= -1.
C. M=2 ;m= -2.
D. M=0 ; m= -2.
Lời giải:.
Chọn B.
Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1
⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2
Bài 2: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.x0=π+k2π, kϵZ .
B.x0=π/2+kπ, kϵZ .
C.x0=k2π, kϵZ .
D.x0=kπ ,kϵZ .
Lời giải:.
Chọn B.
Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .
Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.
A.M= 3 ;m= 0
B. M=2 ; m=0.
C. M=2 ; m= 1.
D.M= 3 ; m= 1.
Lời giải:.
Chọn C.
Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = (sin2x+ cos2x) + cos2x = 1+ cos2 x.
Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3
A.M= 1; m= - 7
B. M= 7; m= - 1
C. M= 3; m= - 4
D. M=4; m= -3
Lời giải
Chọn A
Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4
Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1
Do đó : M= 1 và m= - 7
Bài 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x4 - 10x2 - 2 trên đoạn [0;9] bằng:
A. -2 . B. -11. C. -26 . D. -27 .
Lời giải
Ta có f'(x) = 4x3 - 20x
f(0) = -2; f(√5) = -27; f(9) = 5749 .
Vậy
Chọn D.
Bài 6. Trên đoạn [-2;1], hàm số y = x3 - 3x2 - 1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm:
A. x = -2. B. x = 0 . C. x = -1 . D. x = 1 .
Lời giải
Đặt y = f(x) = x3 – 3x2 – 1
Ta có Ta đang xét trên đoạn [-2;1] nên loại x = 2
Ta có f(-2) = -21; f(0) = -1; f(1) = -3. Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2;1] là –1, tại x = 0.
Chọn B.
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
A. M = 0 B. M = - √2 C. M = √2 D.
Lời giải
TXĐ: D = [1;3] Đặt
Khi đó, bài toán trở thành ''Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(t) = -t2 + t + 2 trên đoạn [√2;2]''.
Xét hàm số g(t) = -t2 + t + 2 xác định và liên tục trên [√2;2]
Đạo hàm g'(t) = -2t + 1 < 0,∀t ∈ (√2;2) .
Suy ra hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn [√2;2]
Do đó
Chọn C.
Ta có:
Từ phép đặt ẩn phụ
Đạo hàm
Ta có
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Hướng dẫn giải
Dễ thấy nên hàm số xác định trên toàn trục số.
Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: Nếu phương trình trở thành
vậy phương trình có nghiệm khi
TH2: Nếu khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = |-x2 - 4x + 5| trên đoạn [-6;6] .
A. M = 0 B. M = 9 C. M = 55 D. M = 110
Lời giải
Xét hàm số g(x) = -x2 - 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6;6].
Đạo hàm g'(x) = -2x - 4 → g'(x) = 0 ⇔ x = -2 ∈ [-6;6]
Lại có
Ta có
Chọn C.
Lưu ý: Hàm trị tuyệt đối không âm.
Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
A. m = -24 B. m = -12 C. m = -9 D. m = 1
Lời giải
Đặt t = cosx (-1 ≤ t ≤ 1)
Khi đó, bài toán trở thành ''Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] ''.
Đạo hàm
Ta có
Chọn C.
Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:
30 bài tập Tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay 2024
30 Bài tập tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (2024) có đáp án
50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2024)
30 Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2024) có đáp án
20 bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn (2024) mới nhất, có đáp án