Bài tập tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1. Phương pháp giải
Dựa vào điều kiện:
Dấu bằng xảy ra khi A = 0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải:
Dấu bằng xảy ra khi 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.
3. Bài tập tự luận
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải và đáp án
Bài 1:
Dấu bằng xảy ra khi 2x2 = 0 ⇔ x = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √3 khi x = 0
Dấu bằng xảy ra khi 2x + 1 = 0 ⇔ x = -1/2
Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi x = -1/2.
Bài 2:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là √2 - 12, đạt được khi x = 4.
b)
⇒ B ≥ √4 + 2010 = 2012
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2012, đạt được khi
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất
Có
Lại có
Dấu “=” xảy ra
Min
Vậy Max
Bài 4: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
a, với x > 0, x ≠ 1
b, với x > 0, x ≠ 1
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn)
Vậy max
Bài 5: Cho biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Lời giải:
a, với x ≥ 0, x ≠ 4
b, Có
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất
Có
Lại có
Dấu “=” xảy ra
Min
Vậy Max
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a. |
b. |
Gợi ý đáp án
a. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài 9: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
Cách 1
a, với x > 0, x ≠ 1
b, với x > 0, x ≠ 1
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn)
Vậy max
Cách 2: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:
Như vậy P ≤ -5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay x = 1/9
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Cách 3: Dùng miền giá trị để đánh giá
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
(P < 1)
Để tổn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:
∆ = (P - 1)2 - 36 ≥ 0 ⇔ (P - 1)2 ≥ 36 ⇔ P - 1 ≤ -6 (Do P < 1) ⇔ P ≤ -5
Như vậy P ≤ -5 khi
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Bài 10: Cho biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Gợi ý đáp án
a, với x ≥ 0, x ≠ 4
b, Có
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min
Xem thêm các dạng bài tập Toán liên quan khác:
20 bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn (2024) mới nhất, có đáp án
30 bài tập Tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay 2024
60 Bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án năm 2024)
50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2024)