Bài tập về các công thức khai triển nhị thức newton cần nhớ

I. Lý thuyết

1. Công thức nhị thức Niu-tơn

Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có:

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).

Quy ước:  = = 1

Chú ý :

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)

+ Số các hạng tử là n + 1.

+ Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.

+ Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

Hệ quả :

Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton

* Tam giác Pascal.

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau :

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.

- ¬Nếu biết hàng thứ n ( n≥1) thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

2. Công thức tìm hệ số, số hạng trong triển khai nhị thức Niu - tơn

2.1. Tổng hợp lý thuyết

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

- Số hàng thứ k + 1 của khai triển: 

- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: 

2.2. Các công thức tìm hệ số trong nhị thức Niu - tơn

* Với khai triển  (p, q là các hằng số), ta có:

Số hạng chứa  ứng với giá trị k thỏa mãn np – pk + qk = m. Từ đó tìm 

Vậy hệ số của số hạng chứa xm là:  với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) =  (p,q là các hằng số)

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của 

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa , hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa .

2.3 Công thức tìm số hạng trong nhị thức Niu - tơn

* Với khai triển  (p, q là các hằng số)

Ta có: 

Số hạng chứa  ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm 

Vậy số hạng chứa  là:  với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) =   (p, q là các hằng số)

Ta có: 

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được số hạng chứa .

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1 – 2x)⁵ + (1 + 5x)¹⁰ .

Lời giải

Khai triển: 

Khai triển: 

Do đó: 

Cần tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thì 

Vậy hệ số của đa thức trong khai triển là: 

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau, biết rằngvới x > 0.

Lời giải

Ta có:(Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ)

 Do đó ta được khai triển: 

Cần tìm hệ số không chứa x trong khai triển nên 36 − 4k = 0 ⇔ k = 9.

Vậy hệ số không chứa x của khai triển là:.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm hệ số của x¹⁵ trong khai triển (1 – x + 2x²)¹⁰.

Lời giải

Ta có khai triển: 

Cần hệ số của x¹⁵ trong khai triển nên 

Trường hợp 1: k = 8; j = 7, ta được 1 hệ số là 

Trường hợp 2: k = 9; j = 6, ta được 1 hệ số là 

Trường hợp 3: k = 10; j = 5, ta được 1 hệ số là 

Vậy hệ số của x¹⁵ trong khai triển là: – 46080 – 53760 – 8064 = – 107904.

Bài 2: Tính tổng

Lời giải

Xét khai triển: 

Chọn x = 1, ta có 

Vậy A = 2²⁰²¹.

Xét khai triển: 

Chọn x = – 3, ta có 

Xét hai khai triển: 

Cộng vế với vế của hai khai triển ta được:

Chọn x = 1, ta có: 

⇔ 2²⁰²¹ = 2C ⇔ C = 2²⁰²⁰

Vậy C = 2²⁰²⁰.

Bài 3: Tìm số n thỏa mãn

Lời giải

Xét khai triển: 

Chọn x = 2, ta có: 

Thay vào phương trình ta có 3ⁿ = 243 = 5⁵ ⇔ n = 5.

Vậy n = 5.

Xét hai khai triển: 

Trừ cả hai vế của khai triển ta có: 

Chọn x = 1, ta có 

Thay vào phương trình được: .

Vậy n = 6.

Bài 4: Cho khai triển (1 – 2x)²⁰ = a₀ +a₁x + a₂x² + … + a₂₀x²⁰. Giá trị của a₀ + a₁ + a₂ + … + a₂₀ bằng:

A. 1                           B. 3²⁰                         C. 0                           D. – 1

Lời giải

Chọn A

Xét khai triển:

Tổng các hệ số của khai triển là

Chọn x = 1, ta có S = (1 – 2.1)²⁰ = (– 1)²⁰ = 1.

Bài 5: Tìm hệ số cuả x⁸ trong khai triển đa thức f(x)=[1+x² (1-x)]⁸

Lời giải:

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x⁸ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

Vậy hệ số cuả x⁸ trong khai triển đa thức [1+x² (1-x)]⁸ là:

a₈ =  = 238.

Bài 6: Đa thức P(x) = (1 + 3x + 2x²)¹⁰ = a₀ + a₁ x+⋯+a₂₀ x²⁰.. Tìm a₁₅

Lời giải:

Ta có:

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k+i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 7: Trong khai triển (2a-b)⁵, hệ số của số hạng thứ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bài 4: Trong khai triển nhị thức (a+2)ⁿ⁺⁶,(n ϵ Z). Có tất cả số hạng. Vậy n bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (a+2)⁽ⁿ⁺⁶⁾,(n ϵ N) có tất cả n+7 số hạng.

Do đó n+7 =17 ⇔ n=10.

Bài 8: Trong khai triển (3x²-y)¹⁰, hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (3x²-y)¹⁰ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là .

Bài 9: Đa thức P(x) =(1+3x+2x²)¹⁰=a₀ + a₁ x + ⋯ + a₂₀ x²⁰. Tìm a₁₅

 Giải

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k + i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 10: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x³ - (2/x))ⁿ, biết rằng 

Giải

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

30 bài tập về bài vận dụng cao nhị thức newton (2024) có đáp án 

30 Bài tập về công thức nhị thức Newton (2024) có đáp án 

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án 

70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11 

70 Bài tập về quy tắc tính đạo hàm (có đáp án năm 2024) - Toán 11