Bài tập về các bài toán về hình học nâng cao lớp 5
I. Phương pháp giải:
1. Tam giác
- Hai tam giác chung đáy thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 đường cao tương ứng.
- Hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng.
2. Hình hộp chữ nhật:
Sxung quanh = (a + b) x 2 x c
Stoàn phần = Sxung quanh + Sđáy x 2
V = a x b x c
3. Hình lập phương
Sxung quanh = a x a x 4
Stoàn phần = a x a x 6
V = a x a x a
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB = IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.
Giải
Ta có SMIC= 1/2 SMCA (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
SMIC=SMIB (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
Cho ta: SAMC=SBMC (SBMC=SMIC+SMIB).
Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
Vậy: SAMN=SBMN
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?
Giải
Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.
Ta có SABK = SCBK (K trung điểm AC) ==> SABK = 1/2 SABC
Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M.
Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau.
(SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==> SNOK=SBOM )
Tứ giác ABMN có: SABMN = SABK + SBOM – SNOK = SABK = SABC
Vậy M chính là điểm cần tìm.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một miếng vườn trồng cây ăn trái có chiều dài 25m, chiều rộng bằng 3/5 chiều dài. Trong vườn người ta xẻ 2 lối đi có chiều rộng là 1m (như hình vẽ). Tính phần diện tích còn lại để trồng cây?
Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m)
Chiều dài mỗi hình chữ nhật nhỏ: (25 - 1 ) : 2 = 12 (m)
Chiêu rộng mỗi hình chữ nhật nhỏ: (15 - 1 ) : 2 = 7 (m)
Diện tích phần còn lại để trồng cây: 12 x 7 x 4 = 336 (mét vuông)
Đáp số: 336 mét vuông
Cách 2:
Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m)
Diện tích miếng vườn: 25 x 15 = 375 (mét vuông)
Diện tích lối đi theo chiều dài: 25 x 1 = 25 (mét vuông)
Diện tích lối đi theo chiêu rộng: 15 x 1 - 1 = 14 (mét vuông)
Diện tích phần đất còn lại để trồng cây: 375 - ( 25 + 14 ) = 336 (mét vuông)
Đáp số: 336 mét vuông
Cách 3:
Giả sử ta dời 2 lối đi ra sát bìa ranh miếng vườn, lúc này lối đi sẽ có hình chữ L (như hình vẽ) và phần đất còn lại là hình chữ nhật trọn vẹn.
Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m)
Chiều rộng phần đất còn lại: 15 - 1 = 14 (m)
Chiều dài phần đất còn lại: 25 - 1 = 24 (m)
Diện tích phần đất còn lại để trồng cây:
24 x 14 = 336 (mét vuông)
Đáp số : 336 mét vuông
Bài 2: Một miếng bìa hình bình hành có chu vi là 2m. Nếu bớt cạnh đi 20cm thì ta được miếng bìa hình thoi có diện tích 6dm2. Tìm diện tích miếng bìa hình bình hành đó.
Lời giải:
Đổi 2m = 20dm; 20cm = 2dm
Cạnh của hình thoi là:
(20 – 2 – 2 ) : 4 = 4 (dm)
Chiều cao hạ từ A xuống CD là:
6 : 4 = 1,5 (dm)
Cạnh AB là: 4 + 2 = 6 (dm)
Diện tích hình bình hành ABCD là:
1 ,5 x 6 = 9 (dm2)
Bài 3: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB dài 10cm có diện tích 210cm2. Kéo dài đáy lớn CD về phía C một đoạn CE = 8cm thì diện tích tăng thêm 60cm2. Tính độ dài đấy lớn CD.
Lời giải:
Chiều cao hạ từ B của tam giác BCE (cũng là chiều cao của hình thang ABCD) là: 2 x 60 : 8 = 15 (cm)
Tổng hai đáy của hình thang ABCD là:
210 x 2 : 15 = 28 (cm)
Độ dài đáy lớn CD là:
28 -10 = 18 (cm)
Đáp số: 18cm
Bài 4. Cô Trâm trồng hoa trên một thửa ruộng hình thang vuông có đáy lớn bằng 160m và chiều cao bằng 30m. Nếu mở rộng thửa ruộng thành mảnh đất hình chữ nhật mà vẫn giữ nguyên đáy lớn thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 600m2. Hỏi cô Trâm bán được bao nhiêu tiền hoa trên thửa ruộng đó biết rằng trung bình mỗi hec-ta hoa bán được 140 000 000 đồng.
Lời giải:
Độ dài đoạn BM là:
600 x 2 : 30 = 40 (m)
Đáy bé AB dài là: 160 – 40 = 120 (m)
Diện tích của hình thang là:
(120 + 160) x 30 : 2 = 4200 (m2)
Đổi 4200m2 = 0,42ha.
Số tiền cô Trâm thu được trên thửa ruộng đó là:
0,42 x 140000000 = 58800000 (đồng)
Đáp số: 58 800 000 đồng.
Bài 5: Một hình chữ nhật có chu vi 54cm. Nếu tăng chiều rộng thêm 2,5cm và giảm chiều dài 2,5cm thì được một hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Lời giải:
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 54 : 2 = 27 (cm)
Tăng chiều rộng 2,5cm và giảm chiều dài 2,5cm thì được hình vuông. Vậy chiều dài hơn chiều rộng là:
2,5 + 2,5 = 5 (cm)
Chiều dài hình chữ nhật là:
(27 + 5) : 2 = 16 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
27 – 16 = 11 (cm)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:
16 x 11 = 176 (cm2).
Đáp số: 176cm2.
Bài 6: Người ta mở rộng mảnh vườn hình vuông về bốn phía mỗi phía 4m. Sau khi mở rộng, diện tích mảnh vườn tăng thêm 192m2. Tìm diện tích mảnh vườn cũ.
Lời giải:
Vì diện tích tăng thêm 192m2 nên diện tích mỗi hình chữ nhật là:
192 : 4 = 48 (m)
Chiều dài của mỗi hình chữ nhật này là:
48 : 4 = 12 (m)
Cạnh của hình vuông là:
12 – 4 = 8 (m)
Diện tích của mảnh vườn ban đầu là:
8 x 8 = 64 (m2)
Đáp số: 64m2.
Bài 7: Một hình chữ nhật nếu tăng chiều rộng để bằng chiều dài của nó thì diện tích tăng thêm 20cm2, khi giảm chiều dài cho bằng chiều rộng thì diện tích giảm đi 16cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?
Lời giải:
Có HC = HI (cùng bằng hiệu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu). Hiệu của diện tích tăng lên và diện tích giảm đi chính bằng diện tích của hình vuôn HCFI, hiệu đó là:
20 – 16 = 4 (cm2)
Do 4 = 2 x 2 nên độ dài cạnh HC là 2cm.
Cạnh DH hay chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là:
16 : 2 = 8 (cm)
Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là:
8 + 2 = 10 (cm)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:
8 x 10 = 80 (cm2)
Đáp số: 80cm2
Bài 8: Thiết bị máy được xếp vào các hình lập phương có diện tích toàn phần bằng 96dm2. Người ta xếp các hộp đó vào trong một thùng hình lập phương làm bằng tôn không có nắp. Khi gò một thùng như thế hết 3,2m2 tôn (diện tích các mép hàn không đáng kể). Hỏi mỗi thùng đựng được bao nhiêu hộp thiết bị nói trên?
Giải
Diện tích một mặt của hộp thiết bị là:
96 : 6 = 16 (dm2)
Suy ra cạnh của hộp thiết bị là 4dm, vì 4 x 4 = 16
Diện tích một mặt của thùng đựng hàng là:
320 : 5 = 64 (dm2)
Vì 64 = 8 x 8 nên cạnh của thùng đựng hàng là 8dm
Thể tích một hộp đựng thiết bị là:
4 x 4 x 4 = 64 (dm3)
Thể tích thùng đựng hàng là:
8 x 8 x 8 = 512 (dm3)
Số hộp thiết bị đựng được trong một thùng là:
512 : 64 = 8 (hộp)
Đáp số: 8 hộp
Bài 9: Một bể bơi có chiều dài 12m, chiều rộng 5m và sâu 2,75m. Hỏi người thợ phải dùng bao nhiêu viên gạch men để lát đáy và xung quanh thành bể đó? Biết rằng mỗi viên gạch có chiều dài 25cm, chiều rộng 20 cm và diện tích mạch vữa lát không đáng kể.
Giải
Diện tích xung quanh và diện tích đáy bể là:
(12 + 5) x 2 x 2,75 = 93,5 (m2)
Diện tích một viên gạch men là:
20 x 25 = 500 (cm2)
Số viên gạch men cần dùng là:
93,5 : 0,05 = 1870 (viên)
Đáp số: 1870 viên gạch men
Bài 10: Một bể cá cảnh dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,2m, chiều rộng 0,4m, chiều cao 0,6m. Mực nước trong bể cao 35cm. Sau khi thả hòn Non Bộ vào trong bể thì mực nước trong bể cao 47 cm. Tính thể tích hòn Non Bộ.
Giải
Chiều cao mực nước trong bể tăng thêm khi thả hòn Non Bộ vào là:
47 – 35 = 12 (cm)
12 cm = 0,12m
Thể tích khối nước dâng cao lên do thả hòn Non Bộ vào là
1,2 x 0,4 x 0,12 = 0,0576 (m3)
Thể tích khối nước dâng cao thêm bằng thể tích hòn Non Bộ. Vì vậy, thể tích hòn Non Bộ là 0,0576m3.
Đáp số: 0,0576m3
Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:
50 Bài tập Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương (có đáp án năm 2024)
50 Bài tập Thể tích hình lập phương (có đáp án năm 2024)
50 Bài tập Thể tích hình hộp chữ nhật (có đáp án năm 2024)
50 Bài tập Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương (có đáp án năm 2024)
