Bài tập về bunhiacopxki 2 số
I. Lý thuyết
1) Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.
+ Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.
2) Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:
Với hai bộ số và
ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0
3) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
+ Có
(luôn đúng)
4) Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(điều phải chứng minh)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
Điều kiện:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:
A max = 2 khi (thỏa mãn)
Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:
(điều phải chứng minh)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác là tam giác đều
Bài 2: Cho các số thực dương a, b, c. chứng minh rằng:
(*)
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta cần chứng minh:
(Luôn đúng)
Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Ta có:
=>
Ta cần chứng minh:
hay
Sau khi khai triển và thu gọn ta được:
Để ý rằng
=> Bất đẳng thức trở thành
Bài 4: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Ta mong muốn xuất hiện a + b + c
Ta có:
=>
Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa cộng lại thì suy ra điều phải chứng minh.
Bài 6 . Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1⁄a + 1⁄b + 1⁄c ≥ 9
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1⁄3
Bài 7: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
(ab + bc + ca – 1)2 ≤ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(ab + bc + ca – 1)2
= [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]2 ≤ (a2 + 1)[(b + c)2 + (bc – 1)2]
Bài toán quy về chứng minh:
(b + c)2 + (bc – 1)2 ≤ (b2 + 1)(c2 + 1)
Đây là một đẳng thức đúng vì:
(b + c)2 + (bc – 1)2 = (b2 + 1)(c2 + 1)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a(bc – 1) = b + c ⇔ a + b + c = abc
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 10. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức trên tương đương với
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:
50 Bài tập Hệ thức Vi – ét và ứng dụng (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A 2 = | A | (có đáp án năm 2024)
Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối (2024) dễ hiểu nhất
20 Bài tập về Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả (2024) chi tiết nhất
50 Bài tập Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (có đáp án năm 2024) - Toán 9