30 bài tập bunhiacopxki 2 số 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: bunhiacopxki 2 số hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Bài tập về bunhiacopxki 2 số

I. Lý thuyết

1) Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

+ Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.

2) Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số $\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)$ và $\left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right)$ ta có:

$\left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

+ Có $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ac} \right)^2} + {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {bd} \right)^2} \ge {\left( {ac} \right)^2} + 2abcd + {\left( {bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} \ge 2abcd\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} - 2abcd + {\left( {bc} \right)^2} \ge 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\left( {ad - bc} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng)

4) Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge 4abcd$

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt 6$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$1.\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$

$\le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt {3.2} = \sqrt 6$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$

Lời giải:

$A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$

Điều kiện: $2 \le x \le 4$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

${\left[ {1.\sqrt {x - 2} + 1.\sqrt {4 - x} } \right]^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 4 - x} \right) = {2^2} = 4$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {A^2} \le 4\\ \Leftrightarrow - 2 \le A \le 2 \end{array}$

A max = 2 khi $\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} \Leftrightarrow x - 2 = 4 - x \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì $\sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

$1.\sqrt {p - a} + 1.\sqrt {p - b} + 1.\sqrt {p - c} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {p - a + p - b + p - c} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3\left( {3p - 2p} \right)} = \sqrt {3p}$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{{p - a}} = \frac{1}{{p - b}} = \frac{1}{{p - c}} \Leftrightarrow a = b = c$ hay tam giác là tam giác đều

Bài 2: Cho các số thực dương a, b, c. chứng minh rằng:

$\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c + 2a}} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}$ (*)

Hướng dẫn giải

Ta có

$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + 2ab}} \\(*)\Rightarrow VT = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + 2ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + 2bc}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + 2ac}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\end{array}$

Ta cần chứng minh:

$\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$ (Luôn đúng)

Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

${\left( {a + b + c} \right)^2} = \left[ {a + \sqrt 2 {{\left( {\dfrac{{b + c}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right] \le \left( {{a^2} + 2} \right)\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right]$

=> ${\left( {a + b + c} \right)^2} = \left[ {a + \sqrt 2 {{\left( {\dfrac{{b + c}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right] \le \left( {{a^2} + 2} \right)\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right]$

Ta cần chứng minh:

$3\left( {{a^2} + 2} \right)\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right] \le \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right)$

hay $3\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right] \le \left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right)$

Sau khi khai triển và thu gọn ta được: $\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + {b^2}{c^2} - 3bc + 1 \ge 0$

Để ý rằng $\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} \ge bc$

=> Bất đẳng thức trở thành ${b^2}{c^2} - 2bc + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {bc - 1} \right)^2} \ge 0$

Bài 4: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{\left( {2{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{a^2} + {c^2}} \right)}} + \dfrac{{{b^3}}}{{\left( {2{b^2} + {c^2}} \right)\left( {2{b^2} + {a^2}} \right)}} + \dfrac{{{c^3}}}{{\left( {2{c^2} + {a^2}} \right)\left( {2{c^2} + {b^2}} \right)}} \le \dfrac{1}{{a + b + c}}\end{array}$

Hướng dẫn giải

Ta mong muốn xuất hiện a + b + c

Ta có:

$\begin{array}{l} \left( {2{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{a^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {a^2} + {c^2}} \right) \ge \left( {{a^2} + ab + ac} \right)\\ = {a^2}{\left( {a + b + c} \right)^2} \end{array}$

=> $\dfrac{{{a^3}}}{{\left( {2{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{a^2} + {c^2}} \right)}} \le \dfrac{a}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$

Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa cộng lại thì suy ra điều phải chứng minh.

Bài 6 . Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1⁄a + 1⁄b + 1⁄c ≥ 9

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1⁄3

Bài 7: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

(ab + bc + ca – 1)² ≤ (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1)

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

(ab + bc + ca – 1)²

= [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]²≤ (a² + 1)[(b + c)² + (bc – 1)²]

Bài toán quy về chứng minh:

(b + c)² + (bc – 1)² ≤ (b² + 1)(c² + 1)

Đây là một đẳng thức đúng vì:

(b + c)² + (bc – 1)² = (b² + 1)(c² + 1)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a(bc – 1) = b + c ⇔ a + b + c = abc

Bài 9: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 10. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức trên tương đương với

Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

50 Bài tập Hệ thức Vi – ét và ứng dụng (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A 2 = | A | (có đáp án năm 2024)

Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối (2024) dễ hiểu nhất

20 Bài tập về Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả (2024) chi tiết nhất

50 Bài tập Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Được cập nhật 24/05/2024 542 lượt xem

Bởi Trang Quỳnh

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!

Bài viết cùng chủ đề

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 bài tập các dạng phương trình hình học 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng phương trình hình học hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

510 5 tháng trước

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 bài tập các dạng lượng giác 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng lượng giác hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

575 5 tháng trước

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 bài tập các dạng đồ thị phương trình 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng đồ thị phương trình hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

566 5 tháng trước

30 bài tập bunhiacopxki 2 số 2024 (có đáp án)

I. Lý thuyết

II. Ví dụ minh họa

III. Bài tập vận dụng

Bình luận (0)

Bài viết cùng chủ đề

30 bài tập các dạng phương trình hình học 2024 (có đáp án)

30 bài tập các dạng lượng giác 2024 (có đáp án)

30 bài tập các dạng đồ thị phương trình 2024 (có đáp án)

Nội dung bài viết