Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối (2024) dễ hiểu nhất

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối  - Toán lớp 10

Lí thuyết tổng hợp

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất như sau:

      + Với mọi số thực x có:  $\left|x\right|\ge 0$,$\left|x\right|\ge x,$ $\left|x\right|\ge -x$

      + Với mọi số thực x và số thực a > 0 có:

$\left|x\right|\le a\iff -a\le x\le a$

$\left|x\right|\ge a\iff x\le -a$ hoặc $x\ge a$

      + Với mọi số thực a, b có:

$\left|a\right|-\left|b\right|\le \left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$

Các công thức

$\left|a\right|-\left|b\right|\le \left|a+b\right|$ (Dấu bằng xảy ra khi $\left|a\right|\ge \left|b\right|$ và $a.b\le 0$)

$\left|a\right|+\left|b\right|\ge \left|a+b\right|$ (Dấu bằng xảy ra khi $a.b\ge 0$)

Các tính chất

Tính chất 1: Với hai số thực a, b tùy ý:

Tính chất 2: Ta có:

Tính chất 3: Ta có:

Tính chất 4: Ta có:

*Với phương trình ta sử dụng các tính chất:

Tính chất 1: Nếu:

Tính chất 2: Nếu:

Tính chất 3: Nếu:

Tính chất 4: Nếu:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng minh rằng $\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\ge 1$ với mọi số thực x.

Lời giải:

Ta có:

$\left|x-2\right|=\left|-(x-2)\right|=\left|2-x\right|$

Mặt khác:

$\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge \left|x-1+2-x\right|$

$\iff \left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge 1$

$\iff \left|x-1\right|+\left|x-2\right|\ge 1\forall x\in ℝ$  (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Chứng minh rằng: $\left|a-b\right|+\left|c-b\right|\ge \left|a-c\right|$ với mọi số thực a, b, c.

Lời giải:

(điều cần phải chứng minh).

Bài 3: Chứng minh rằng $x+\left|x\right|\ge 0$ với mọi số thực x.

Lời giải:

Ta có: $\left|x\right|\ge -x$

$\Rightarrow x+\left|x\right|\ge x+(-x)$

$\iff x+\left|x\right|\ge 0\forall x\in ℝ$(điều cần phải chứng minh).

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có:

Lời giải:

Ta có:

 Bài 2: Giải phương trình:

Lời giải:

Ta biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có nghiệm là x ≥ 1.

Bài 3: Cho số thực x thỏa mãn 

Chứng minh rằng x≥2

Lời giải:

Ta có:

Bài 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

b) Tìm tất cả các giá trị của x để đạt được giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức  ta có

Dễ thấy khi x = 1 thì A = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2

b) Theo nhận xét trên, dấu "=" ở bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng ta có 

Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh rằng: $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\ge \left|a+b+c\right|$ với mọi số thực a, b, c.

Bài 2: Cho $x\in \left[-3;7\right]$. Chứng minh rằng $\left|x-2\right|\le 5$.

Bài 3: Chứng minh rằng  :

Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất:

Xem thêm tổng hợp các dạng toán lớp 10 đầy đủ, chi tiết và hay khác:

200 Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023) - Toán 10

100 Bài tập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023) - Toán 10

500 Bài tập Toán 10 bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)

300 Bài tập dấu của tam thức bậc hai (có đáp án năm 2023) - Toán 10

250 Bài tập hàm số bậc hai (có đáp án năm 2023) - Toán 10