20 Bài tập tìm Tập nghiệm của bất phương trình (2024) hay, có đáp án

Tìm tập nghiệm của bất phương trình 

1. Tập nghiệm S của bất phương trình là gì?

Trước hết ta xét đến định nghĩa bất phương trình một ẩn

- Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng

f(x) < g(x), f(x) > g(x); f(x) ≥ g(x); f(x) ≤ g(x)

- Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình.

- Nếu với giá trị x =a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng bất phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hay lời giải của bất phương trình, đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất phương trình. Trong nhiều tài liệu người ta cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ Bất phương trình 4.x + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x > -0.5. Tập nghiệm của bất phương trình là { x ∈ R | x > -0.5 } = (0.5; )

2. Phân loại bất phương trình

- Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.

- Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép khai căn

- Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa.

- Các bất phương trình logarit là các bất phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit).

3. Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức, các quy tắc chuyển vế hoặc nhân (chia) với một số khác 0 để giải các bất phương trình đã cho.

*Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 1: Áp dụng quy tắc (quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số) để đưa bất phương trình về dạng ax < b (ax > b; ax $\le$ b; ax $\ge$b).

Bước 2: Kết luận nghiệm của bất phương trình.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (x² + 3x + 1)(x² + 3x – 3) ≥ 5 (*)

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = 

Đặt x² + 3x – 3 = t ⟹ x² + 3x + 1 = t + 4

Bất phương trình (*) ⟺ t(t+4) ≥ 5

⟺ t² + 4t – 5 ≥ 0

⟺ t ∈ (-∞; -5] ∪ [1; +∞)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (-∞; -4] ∪ [1; +∞)

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: 

Bất phương trình tương đương:

Đặt  (**)

Kết hợp với điều kiện (**) 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f (x) = –9x² + 16x + 4 có a = – 9 < 0 và ∆ = 16² – 4.( – 9).4 = 112 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 2 và x₂ = $\frac{-2}{9}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$-9x^2+16x+4\le 0$ khi x ≤ $\frac{-2}{9}$ hoặc x ≥ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left(-\infty ;\frac{-2}{9}\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

b) Tam thức bậc hai f (x) = $6x^2-13x-33$ có a = 6 > 0 và ∆ = ( –13)² – 4.6.( –33) = 961 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = $\frac{11}{3}$ và x₂ = $\frac{-3}{2}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$6x^2-13x-33$ < 0 khi $\frac{-3}{2}$ < x < $\frac{11}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left(\frac{-3}{2};\frac{11}{3}\right)$.

c) Tam thức bậc hai f ( x ) = $7x^2-36x+5$ có a = 7 > 0 và 2∆ = ( –36)² – 4.7.5 = 1156 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = $\frac{1}{7}$ và x₂ = 5

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$7x^2-36x+5\le 0$  khi $\frac{1}{7}$ ≤ x ≤ 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left[\frac{1}{7};5\right]$.

d) Tam thức bậc hai f ( x ) = $-9x^2+6x-1$ có a = –9 < 0 và ∆ = 6² – 4.( –9).( –1) = 0. Do đó f(x) có nghiệm x = $\frac{1}{3}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$-9x^2+6x-1\ge 0$ khi x = $\frac{1}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

e) Tam thức bậc hai f ( x ) = $49x^2+56x+16$ = ( 7x + 4 )²

Tam thức bậc hai có nghiệm x = $\frac{-4}{7}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$49x^2+56x+16>0$  khi x ≠ $\frac{-4}{7}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $ℝ\backslash \left\{\frac{-4}{7}\right\}$

g)

Tam thức bậc hai f ( x ) = $-2x^2+3x-2$ có ∆ = 3² – 4. ( –2 ). ( –2 ) = –7 < 0 nên f(x) vô nghiệm.

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có a = –2 < 0 nên

$-2x^2+3x-2\le 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy $-2x^2+3x-2\le 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Bài 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: 

Lời giải:

Điều kiện xác định x² – 6x + 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2, x ≠ 4

Lập bảng xét dấu ta có:

Từ bảng xét dấu ta kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ [ -2 ; 4)

Bài 3: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

Lời giải:

a) Ta có: $x^2-3x<4$ ⟺ x² – 3x – 4 < 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 3x – 4 có ∆ = (– 3)² – 4.1.(– 4) = 25 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 4 và x₂ = –1.

Ta có: a = 1 > 0 nên f ( x ) < 0 với –1 < x < 4.

Suy ra x² – 3x – 4 < 0 hay $x^2-3x<4$ với –1 < x < 4.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm khi S = (–1 ; 4).

b) Ta có: 0 < 2x² – 11x – 6 ⇔ 2x² – 11x – 6 > 0

Tam thức bậc hai f( x ) = 2x² – 11x – 6 có ∆ = (– 11)² – 4.2.(– 6) = 169 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 6 và x₂ = $\frac{-1}{2}$,

Ta lại có: a = 2 > 0 nên f ( x ) > 0 khi x < $\frac{-1}{2}$ hoặc x > 6.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =  (– ∞; $\frac{-1}{2}$) ∪ (6; +∞).

c) $-2{\left(2x+3\right)}^2+4x+30\le 0$ 

⟺ –2.( 4x² + 12x + 9 ) + 4x + 30 ≤ 0

⟺ –8x² – 24x – 18 + 4x + 30 ≤ 0

⟺ –8x² – 20x + 12 ≤ 0

⟺ –2x² – 5x + 3 ≤ 0

Tam thức bậc hai f ( x ) = –2x² – 5x + 3 có ∆ = (– 5)² – 4.(– 2).3 = 49 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = –3 và x₂ = $\frac{1}{2}$,

Ta lại có a = –2 < 0 nên f ( x ) ≤ 0 khi x ≤ –3 hoặc x ≥ $\frac{1}{2}$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (–∞ ; –3] ∪ [$\frac{1}{2}$; +∞).

d) $-3\left(x^2-4x-1\right)\le x^2-8x+28$

⟺ –4x² + 20x – 25 ≤ 0

Tam thức bậc hai f ( x ) = –4x² + 20x – 25 có ∆ = 20² – 4. ( –4 ) . ( – 25 ) = 0 ,

a = –4 < 0 nên f ( x ) ≤  0 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra –4x² + 20x – 25 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy $-3\left(x^2-4x-1\right)\le x^2-8x+28$ với mọi x ∈ ℝ.

e) $2{\left(x-1\right)}^2\ge 3x^2+6x+27$

⟺ 2x² – 4x + 2 ≥ 3x²  + 6x + 27

⟺ –x² – 10x – 25 ≥ 0

⟺ –( x + 5 )² ≥ 0

⟺ x = –5 ( do –( x + 5 )² ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ)

Vậy $2{\left(x-1\right)}^2\ge 3x^2+6x+27$ khi x = –5

g) $2{\left(x+1\right)}^2+9\left(-x+2\right)<0$

⇔ 2(x² + 2x + 1) – 9x + 18 < 0

⇔ 2x² – 5x + 20 < 0

Tam thức bậc hai f ( x ) = 2x² – 5x + 20 có ∆ = (– 5)² – 4. 2 . 20 = –135 < 0,

Ta lại có a = 2 > 0 nên f ( x ) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra 2x² – 5x + 20 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy không tồn tại x thỏa mãn $2{\left(x+1\right)}^2+9\left(-x+2\right)<0$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán liên quan khác:

Phương pháp giải và bài tập về Bất phương trình bậc hai (mới nhất 2024)

30 Bài tập về Giải bất phương trình bậc nhất có ẩn ở mẫu mới nhất (2024) có đáp án

40 Bài tập về các dạng bất phương trình lôgarit (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập Giải bất phương trình chứa căn thức (2024) có lời giải chi tiết

30 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (2024) cực hay, có đáp án