40 Bài tập về các dạng bất phương trình lôgarit (2024) cực hay, có đáp án

Bất phương trình lôgarit

LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a,b > 0, a ≠ 1 

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log_af(x) > b; log_af(x) ≥ b; log_af(x) < b; log_af(x) ≤ b

3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

+ Đưa về cùng cơ số

Nếu 

Nếu 

+ Đặt ẩn phụ

+ Mũ hóa

+ Phương pháp hàm số và đánh giá

CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Bất phương trình logarit cơ bản

A. Phương pháp giải

Ta có BPT log_ax ≥ m (log_ax ≤ m; log_ax < m; log_ax > m) 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Hướng dẫn giải

Vậy tập nghiệm của BPT  

Chọn B.

Câu 2: Bất phương trình log₂(x² - 2x + 3) > 1 có tập nghiệm là

A. R\ .                             B. R                     C.                    D. ø

Hướng dẫn giải

Chọn A.

log₂(x² - 2x + 3) > 1 ⇔ x² - 2x + 3 > 2¹ ⇔ x² - 2x + 1 > 0 ⇔ (x - 1)² > 0 ⇔ x ≠ 1

Vậy tập nghiệm S = R\ .

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:  

Vậy tập nghiệm của BPT là: 

Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình  là:[i]

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện:  

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính  

Nhấn CALC và cho X = -0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081. Vậy loại đáp án C và  D.

Nhấn CALC và cho X = 0,5 (thuộc đáp án B) máy tính không tính được. Vậy loại B, 

Chọn A.

Câu 5: Bất phương trình  có tập nghiệm là:

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

 

Vậy tập nghiệm của BPT 

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính  

Nhấn CALC và cho X = -5 (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277…. 

Vậy loại đáp án A và B.

Nhấn CALC và cho X = 1 (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291. 

Chọn C.

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Vậy tập nghiệm của BPT là 

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính  

Nhấn CALC và cho X = 1 (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274. Vậy loại đáp án C và D.

Nhấn CALC và cho X = -1 (thuộc đáp án B) máy tính không tính được. Vậy loại B

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp giải

Xét bất phương trình log_af(x) > log_ag(x) (a > 0, a ≠ 1)  

• Nếu a > 1 thì log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x) (cùng chiều khi a > 1)

• Nếu 0 < a < 1 thì log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x) (ngược chiều khi 0 < a < 1 )

• Nếu a chứa ẩn thì log_af(x) > log_ag(x) ⇔  (hoặc chia 2 trường hợp của cơ số)

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Điều kiện xác định của bất phương trình  là:

Hướng dẫn giải

Chọn C.

BPT xác định khi:

Câu 2: Điều kiện xác định của bất phương trình log₂(x + 1) - 2log₄(5 - x) < 1 - log₂(x - 2) là:

A. 2 < x < 5 .              B. 1 < x < 2             C. 2 < x < 3           D. -4 < x < 3 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

BPT xác định khi:

Câu 3: Điều kiện xác định của bất phương trình  là:

A. x > 3 .                 B. x > 2               C. x >-2                 D. x > 0

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện:   

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính  

Nhấn CALC và cho X = 1 máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và D.

Nhấn CALC và cho  (thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369.

Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình log_0,5(5x + 15) ≤ log_0,5(x² + 6x + 8) là:

A. x >-2                     B.             C. x >-3              D. -4 < x < -2

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: 

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log_0,5(5x + 15) - log_0,5(x² + 6x + 8) 

Nhấn CALC và cho X = -3,5 máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và  D.

Nhấn CALC và cho X = -5 (thuộc đáp án B) máy tính không tính được.

Vậy loại B, 

Chọn A.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

A. S = [1;6] .              B. S = (5;6]               C. S = (5;+∞)              D. S = (1;+∞)

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận] 

 

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (5;6]

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính  

Nhấn CALC và cho X = 2 (thuộc đáp án A và D) máy tính không tính được. Vậy loại đáp án A và D.

Nhấn CALC và cho X = 7 (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536.

Vậy loại C, 

Chọn B.

Câu 6: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log_0,2x - log₅(x-2) < log_0,23 là:

A. x = 6.                    B. x = 3                 C. x = 5                D. x = 4

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x > 2  

log_0,2x - log₅(x-2) < log_0,23 ⇔ log_0,2[x(x - 2)] < log_0,23

 

So điều kiện suy ra x > 3

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là x = 4.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log_0,2x - log₅(x-2) - log_0,23

Nhấn CALC và cho X = 3 (nhỏ nhất) máy tính hiển thị 0. Vậy loại đáp án B.

Nhấn CALC và cho X = 4 máy tính hiển thị -0.6094234797.

Chọn D.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải

Tương tự với phương pháp giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhưng lưu ý tới chiều biến thiên của hàm số. 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1 :Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình  là:

A. x = 7                B. x = 8               C. x = 4               D. x = 1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x > 0  

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x thỏa mãn ĐK trên là: x = 7. 

[Phương pháp trắc nghiệm]

Lần lượt thay x = 7; x = 8; x = 4; x = 1 thấy x = 7 đúng.

Câu 2: Bất phương trình log_0,2²x - 5log_0,2x < -6 có tập nghiệm là:

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x > 0  

Vậy tập nghiệm của BPT là  .

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính (log_0,2X)² - 5log_0,2X + 6 

Nhấn CALC và cho X = 2,5 (thuộc đáp án B và D) máy tính hiển thị 9.170746391. Vậy loại đáp án B và D.

Nhấn CALC và cho  (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048.

Câu 3: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình  là:

A. x = 3                    B. x = 1                   C. x = 2                D. x = 4

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận] 

Điều kiện: x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3

 

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là x = 4.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Loại B, A vì x ≠ 1; x ≠ 3 

Loại C vì x = 2 =>  

Chọn D.

Câu 4: Nếu đặt  thì bất phương trình  trở thành bất phương trình nào?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ∈ (-∞;1) ∪ (1;+∞)

Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình

 

Chọn A.

Dạng 4. Phương pháp mũ hóa

A. Phương pháp giải

Tương tự với giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Bất phương trình log_x(log₃(9^x - 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là:

A. S = [log₃$\sqrt{73}$;2] .              B. S = (log₃$\sqrt{73}$;2]                          

C. S = (log₃$\sqrt{73}$;2)                D. S = (-∞;2]

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện x > log₃√73

log_x(log₃(9^x - 72)) ≤ 1 ⇔ log₃(9^x - 72) ≤ x ⇔ 9^x - 3^x - 72 ≤ 0 ⇔ 3^x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2  

Kết hợp với điều kiện log₃√73 < x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của BPT là: S = (log₃√73;2]

Chọn B.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x = log₃√73 (thuộc B, C, D) vào biểu thức log_x(log₃(9^x - 72)) được log_x(0) không xác định, vậy loại B, C, D.

Chọn B.

Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình log₂[3log₂(3x - 1) - 1] = x là:

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Biểu thức log₂[3log₂(3x - 1) - 1] = x xác định khi và chỉ khi:

   

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay  (thuộc B, C, D) vào biểu thức log₂(3x - 1) được log₂(0) không xác định, vậy loại B, C, D.

Chọn A.

Câu 3: Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình log₃(4.3^x-1) > 2x - 1  là:

A. x = 3.                               B. x = 2               C. x = 1                D. x = -1

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

log₃(4.3^x-1) > 2x - 1 ⇔ 4.3^x-1 > 3^2x-1 ⇔ 3^2x - 4.3^x < 0 ⇔ 0 < 3^x < 4 ⇔ x < log₃4

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của BPT là: x = 1.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log₃(4.3^x-1) - 2x + 1 

Nhấn CALC và cho X = 3 (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493. Vậy loại đáp án A.

Nhấn CALC và cho X = 2 máy tính hiển thị – 0.7381404929. Vậy loại B.

Nhấn CALC và cho X = 1 máy tính hiển thị 0.2618595071. 

Chọn C.

Dạng 5. Phương pháp hàm số, đánh giá

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D:

Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và ∀u,v ∈ D thì f(u) > f(v) ⇔ u > v

Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và ∀u,v ∈ D thì f(u) > f(v) ⇔ u < v

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x² - 4x + 16) - log₂(x) ≤ -5x² + 40x - 74 là:

A. (-4;4)               B. (4;+∞)                    C.                      D. (-∞;4)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: (0;+∞)  

Bất phương trình log₂(x² - 4x + 16) - log₂(x) ≤ -5x² + 40x - 74 tương đương với:

 

Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có:  

Khi đó dấu “=” trong (1) xảy ra  

So với điều kiện xác định ta nhận nghiệm x = 4.

So bốn đáp án, chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 2: Cho bất phương trình . Phát biểu nào sau đây là Sai:

A. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là T = (-∞;-2) ∪ (-1;1].

B. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là T = (-∞;0) ∪ (1;+∞)

C. Tập xác định của phương trình đã cho là (-∞;-2) ∪ (-1;+∞)

D. Bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Bất phương trình  xác định khi và chỉ khi:

 

Tập xác định: D = (-∞;-2) ∪ (-1;+∞)

Bất phương trình  tương đương với:

 

⇔ log₂(x² + 2x + 3) - log₂(x² + 3x + 2) ≤ 2(x² + 2x + 3) - 2(x² + 3x + 2)

⇔ log₂(x² + 2x + 3) + 2(x² + 3x + 2) ≤ log₂(x² + 3x + 2) + 2(x² + 2x + 3) 

Xét f(t) = log₂t -2t với t ∈ (-∞;-2) ∪ (-1;+∞)

 => f(t) nghịch biến ∀t ∈ (-∞;-2) ∪ (-1;+∞)  

Khi đó: log₂(x² + 2x + 3) - log₂(x² + 3x + 2) ≤ 2(x² + 2x + 3) - 2(x² + 3x + 2) 

⇔ x² + 2x + 3 ≥ x² + 3x + 2 ⇔ x ≤ 1 

So với điều kiện ta nhận nghiệm (-∞;-2) ∪ (-1;1] 

Chọn B.

Câu 3: Bất phương trình log₂(2^x + 1) + log₃(4^x + 2) ≤ 2 có tập nghiệm là:

A. [0;+∞)                B. (-∞;0)                   C. (-∞;0]                  D. (0;+∞)

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Xét x > 0 => 2^x > 2⁰ = 1 => 2^x + 1 > 2 => log₂(2^x + 1) > log₂2 = 1 (1)

x > 0 => 4^x > 4⁰ = 1 => 4^x + 2 > 2 + 1 = 3 => log₃(4^x + 2) > log₃3 = 1 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: log₂(2^x + 1) + log₃(4^x + 2) > 2 

Mà BPT: log₂(2^x + 1) + log₃(4^x + 2) ≤ 2 nên x > 0 (loại) 

Xét x ≤ 0 => 2^x ≤ 2⁰ = 1 => 2^x + 1 ≤ 2 => log₂(2^x + 1) ≤ log₂2 = 1 (3) 

x ≤ 0 => 4^x ≤ 4⁰ = 1 => 4^x + 2 ≤ 2 + 1 = 3 => log₃(4^x + 2) ≤ log₃3 = 1 (4)  

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: log₂(2^x + 1) + log₃(4^x + 2) ≤ 2 (tm)

Vậy x ≤ 0 hay x ∈ (-∞;0] .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (CÓ ĐÁP ÁN)

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình  là

A. [√2;+∞)                                           B. [-√2;0) ∪ (0;√2]    

C. [-√2;√2]                                           D. (0;√2]    

Câu 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:

A. S = (1;1+√2) .                                   B. S = (1;9) .

C. S = (1+√2;+∞)                                  D. S = (9;+∞) .

Câu 3: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 

A. (-∞;1)             B. [0;1) ∪ (2;3]            C. [0;2) ∪ (3;7]             D. [0;2)

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

A. (1;2)               B. (1;2]                  C. (-∞;2]                D. [2;+∞)  

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x² - 3x + 1) ≤ 0 là:

Câu 7: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log_√3-1(x² - 2x + 1) > 0 

A. Vô số.                  B. 0                       C. 2                       D. 1 

Câu 8: Điều kiện xác định của bất phương trình  là:

A. x ∈ [-1;1] .                                         B. x ∈ (-1;0) ∪ (0;1)

C. x ∈ (-1;1) ∪ (2;+∞)                            D. x ∈ (-1;1)

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log₂(5^x - 1) ≤ m có nghiệm x ≥ 1 ?

A. m ≥ 2                 B. m > 2                 C. m ≤ 2               D. m < 2 

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log₂(mx - x²) = 2 vô nghiệm?

A. m < 4 .               B. -4 < m < 4 .        C. D. m > -4

Câu 11: Bất phương trình log₂(x² - x - 2) ≥ log_0,5(x - 1) + 1 có tập nghiệm là:

A. S = [1 - √2;+∞)                                B. S = [1 + √2;+∞)

C. S = (-∞;1 + √2]                                D. S = (-∞;1 - √2]

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình log₄(2x² + 3x + 1) > log₂(2x + 1) là:

Câu 13: Bất phương trình  có tập nghiệm S là

Câu 14: Xác định tập nghiệm S của bất phương trình lnx² > ln(4x - 4) .

A. S = (1;+∞)\            B. S = R\            C. S = (2;+∞)             D. S = (1;+∞)  

Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình log(x² + 25) > log(10x) là

A. (0;+∞)                B. R\              C. (0;5) ∪ (5;+∞).          D. R .

Câu 16: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình  

A. S = (2;+∞)         B. (-∞;2)               C. D. (-1;2) .

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình log_0,8(x² + x) < log_0,8(-2x + 4) là:

A. (1;2)                  B. (-∞;-4) ∪ (1;2)              C. (-∞;-4) ∪ (1;+∞)               D. (-4;1)

Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình  là

A. (3;+∞)               B. (1;+∞)             C. (1;2)              D. (2;+∞)

Câu 19: Nghiệm của bất phương trình  là

Câu 20: Tìm tập nghiệm của bất phương trình  

Câu 21: Tìm m để bất phương trình 1 + log₅(x² + 1) ≥ log₅(mx² + 4x + m) thoã mãn với mọi x ∈ R.

A. -1 < m ≤ 0.          B. -1 < m < 0        C. 2 < m ≤ 3         D. 2 < m < 3

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình là: 

Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình là: 

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình  

Câu 25: Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 3log₃(1 + √a + ³√a) > 2log₂√a. Tìm phần nguyên của log₂(2017a) .

A. 14.                       B. 22.                     C. 16.                     D. 19.

ĐÁP ÁN

1B	2D	3B	4B	5A	6A	7B	8D	9A	10B
11B	12D	13A	14A	15C	16C	17B	18D	19C	20A
21C	22C	23A	24D	25B

Xem thêm các dạng bài tập Toán chi tiết và hay khác: