20 Bài tập Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập (2024) hay, chi tiết

Bài viết Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Hệ phương trình có chứa tham số

Lý thuyết

Cho hệ phương trình ax+by=ca'x+b'y=c'  (*)

- Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

- Từ hai phương trình của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới gồm một ẩn. Khi đó số nghiệm của phương trình mới bằng số nghiệm hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Với trường hợp a';b';c'0

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất aa'bb';

Hệ phương trình vô nghiệm aa'=bb'cc';

Hệ phương trình vô số nghiệm aa'=bb'=cc'.

Dạng bài tập

Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải: Để giải và biện luận hệ phương trình (*) ta làm như sau:

Bước 1: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản đã học như thế, cộng đại số, ta thu được phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện luận hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình (*) bằng số nghiệm của phương trình mới.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với m là tham số

x+my=2mmx+y=1m  (*)

a) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

b) Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải:

a)

x+my=2m  (1)mx+y=1m  (2)

Từ (1) ta có: x = 2m – my thay vào (2) ta được:

m2mmy+y=1m

2m2m2y+y1+m=0

1m2y+2m2+m1=0(**)

Để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì phương trình (**) phải có nghiệm duy nhất.

(**) có nghiệm duy nhất 1m20

(1m)(1+m)0

1m01+m0

m1m1

Khi đó: 1m2y=2m2m+1

y=2m2m+11m2

y=2m22m+m+11m1+m

y=2mm+1+m+11mm+1

y=m+112m1mm+1=12mm+1

Vì x=2mmy

x=2mm12mm+1

x=2mm+1m12mm+1

x=2m2+2mm+2m2m+1

x=4m2+mm+1

Hệ phương trình có nghiêm duy nhất khi và chỉ khi m±1 và nghiệm duy nhất đó là 4m2+mm+1;12mm+1.

b) Để hệ (*) vô nghiệm thì phương trình (**) phải vô nghiệm.

(**) vô nghiệm 1m2=02m2+m10

1m1+m=02m2+2mm10

m=1m=12m(m+1)(m+1)0

m=1m=1(m+1)(2m1)0

m1m12m=1m=1m=1

Vậy m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình với m là tham số

mxy=2m  4xmy=m+6  (I)

 Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm.

Lời giải:

mxy=2m  (1)4xmy=m+6  (2)

Từ phương trình (1) ta có:

y = mx – 2m thay vào phương trình (2) ta có:

4xm(mx2m)=m+6

4xm2x+2m2=m+6

 (4m2)x+2m2m6=0 (II)

Để hệ phương trình (I) có nghiệm thì phương trình (II) phải có nghiệm.

Để phương trình (II) có nghiệm ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (II) có nghiệm duy nhất

4m20

2m2+m0

2m02+m0

m2m2

Trường hợp 2: Phương trình (II) có vô số nghiệm

4m2=02m2m6=0

(2m)(2+m)=02m24m+3m6=0

m=2m=22mm2+3m2=0

m=2m=2(m2)(2m+3)=0

m=2m=2m=2m=32m=2

Kết hợp hai trường hợp ta được m2 thì hệ phương trình luôn có nghiệm.

Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có).

Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.

Bước 4: Thay x; y vào điều kiện đề bài và giải điều kiện.

Bước 5: Kết luận.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

3x+my=4x+y=1  (với m là tham số)

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x < 0; y > 0.

Lời giải:

a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

31m1m3  

Vậy m3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Với m = 3 thì hệ phương trình vô nghiệm nên hệ này có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất

Theo bài ra ta có:

3x+my=4x+y=13x+m1x=41x=y

3x+mmx=41x=y3mx=4m1x=y

x=4m3m1x=yx=4m3my=14m3m

x=4m3my=3m4m3mx=4m3my=13m

Để y > 013m>0

3m<0

m<3

m>3

Để x < 04m3m<0

Trường hợp 1:

4m>03m<0m<4m>33<m<4

Trường hợp 2:

4m<03m>0m>4m<3 (vô lí)

Kết hợp điều kiện x và y ta thấy để y > 0 và x < 0 thì 3 < m < 4.

Ví dụ 2: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x; y) và x; y nguyên.

mx+2y=m+12x+my=2m1 (m là tham số).

Lời giải:

+ Với m = 0 khi đó hệ trở thành:

0x+2y=0+12x+0y=2.0+1

2y=12x=1x=12y=12     (loại vì không phải nghiệm nguyên)

+ Với m0 hệ phương trình có nghiệm duy nhẩt

m22m

m24

m±2

Ta có:

mx+2y=m+12x+my=2m12y=m+1mx2x+my=2m1

y=m+1mx22x+mm+1mx2=2m1

y=m+1mx24x+m2+mm2x=4m2

y=m+1mx24m2x=m2m+4m2

y=m+1mx2x=m2+3m24m2

x=2mm12m2+my=m+1mx2

x=m12+my=m+1m.m12+m2

x=m12+my=m+12+mm2m2+m2

x=m12+my=2m+2+m2+mm2+m2(2+m)

x=m12+my=4m+22(2+m)x=m12+my=2m+12+m

Để x nguyên thì m12+m

Ta có:

m12+m=m+23m+2=m+2m+23m+2=13m+2

Để m12+m thì 3m+23m+2

Hay m+2Ư(3)

Ư(3) = ±1;±3

m + 2

-3

-1

1

3

m

-5

-3

-1

1

Để y nguyên thì 2m+12+m

Ta có:

2m+12+m=2m+432+m=2m+2m+23m+2= 2 - 3m+2

Để m12+m thì 3m+2 (tương tự câu a)

Vậy để hệ phương trình có nghiệm (x; y) nguyên thì m5;3;1;1.

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các ẩn trong hệ phương trình không phụ thuộc vào tham số m.

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế làm mất tham số m.

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau:

mx+y=1x+y=m (m là tham số)

Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

Lời giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m111m1

Ta có:

mx+y=1  x+y=m  mx+y=1  (1)m=xy  (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

 x(-x – y) + y = -1

x2xy+y+1=0

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là x2xy+y+1=0.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

x+y=m+42x+3y=4m  (m là tham số)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

Lời giải:

x+y=m+4  (1)2x+3y=4m  (2)

Từ (1) ta có: m = x + y – 4 thay vào (2) ta được:

2x + 3y = 4(x + y – 4)

2x + 3y = 4x + 4y – 16

4x +4y – 16 – 2x – 3y = 0

2x + y - 16 = 0

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m là 2x + y – 16 = 0.

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho hệ phương trình mx+3y=6x+2y=4 (m là tham số). Tìm điều kiện của m để hệ phương trình vô số nghiệm.

Bài 2:  Cho hệ phương trình 2mx5y=25x2my=32m (m là tham số)

a) Tìm m để hẹ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x; y nguyên.

Bài 3: Cho hệ phương trình mxy=2m4xmy=m+6 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.

Bài 4: Cho hệ phương trình 2mx+y=2x+2my=44m (m là tham số)

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x nguyên; y nguyên.

Bài 5: Cho hệ phương trình mx+y=34x+my=6 (m là tham số)

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhât (x; y) thỏa mãn x > 2; y > 0.

Bài 6: Cho hệ phương trình 2mx+y=5mx+3y=1 (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 2.

Bài 7: Cho hệ phương trình xmy=0mxy=m+1 (với m là tham số)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 8: Cho hệ phương trình 2x+4y=m+3xy=m+1 (với m là tham số)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 9: Cho hệ phương trình 2mx+4y=3x2y=m+1 (với m là tham số)

Tìm m để 2x – 3y = 0.

Bài 10: Cho hệ phương trình 2mx+y=28x+my=m+2 (với m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = -1.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -6).

c) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

e) Tìm m để 4x + 3y = 7

f) Tìm m để x – y > 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán chi tiết và hay khác:

50 Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Công thức nghiệm thu gọn (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Hệ thức Vi – ét và ứng dụng (có đáp án năm 2023)

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!