50 Bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Phương trình bậc hai một ẩn

Kiến thức cần nhớ 

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$

trong đó x là ẩn, a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và $\mathrm{a}\ne 0$.

Ví dụ 1:

a) ${\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1=0$ là một phương trình bậc hai với a = 1; b = -2; c = 1.

b) ${\mathrm{x}}^2-9=0$ là một phương trình bậc hai với a = 1; b = 0; c = -9.

2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai

a) Trường hợp b = 0.

Với trường hợp b = 0 thì khi đó phương trình bậc hai của chúng ta là ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{c}=0$

+ Nếu a và c cùng dấu thì phương trình sẽ vô nghiệm

Ví dụ 2: $3{\mathrm{x}}^2+9=0\iff 3{\mathrm{x}}^2=-9$ (vô lí)

+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình sẽ có hai nghiệm

Ví dụ 3: ${\mathrm{x}}^2-4=0\iff {\mathrm{x}}^2=4\iff \mathrm{x}=\pm 2$.

b) Trường hợp c = 0.

Với trường hợp c = 0 thì khi đó phương trình bậc hai của chúng ta là ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}=0$

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm là x = 0 và x = $\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$.

Ví dụ 4: ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}=0$

$$\begin{gathered} \iff \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}-3=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=3\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

c) Trường hợp $\mathrm{a}\ne 0; \mathrm{b}\ne 0; \mathrm{c}\ne 0$.

Khi đó ta sẽ biến đổi phương trình ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ thành tổng của một bình phương với một số.

Ví dụ 5: ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3=0$

$$\begin{gathered} \iff {\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4-1=0 \\ \iff {\left(\mathrm{x}-2\right)}^2-1=0 \\ \iff {\left(\mathrm{x}-2\right)}^2=1 \end{gathered}$$

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng ax² + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c:

a) $5x^2+2x=4-x$

b) $\frac{3}{5}{x}^2+2x-7=3x+\frac{1}{2}$

c) $2x^2+x-\sqrt{3}=\sqrt{3}x+1$

d) $2x^2+m^2=2\left(m-1\right)x$ với m là một hằng số.

Lời giải

a) 5x² + 2x = 4 – x

⇔ 5x² + 2x + x – 4 = 0

⇔ 5x² + 3x – 4 = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 5; b = 3; c = -4.

b)$\frac{3}{5}{x}^2+2x-7=3x+\frac{1}{2}$

$\iff \frac{3}{5}{x}^2+2x-7-3x-\frac{1}{2}=0$

$\iff \frac{3}{5}{x}^2-x-\frac{15}{2}=0$

Phương trình bậc hai trên có a = $\frac{3}{5}$; b = -1; c = $\frac{-15}{2}$.

c) 2x² + x - $\sqrt{3}$ = x.$\sqrt{3}$ + 1

⇔ 2x² + x - x.$\sqrt{3}$ - $\sqrt{3}$ – 1 = 0

⇔ 2x² + x$.\left(1-\sqrt{3}\right)$ – $\left(\sqrt{3}+1\right)$ = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = 1 - $\sqrt{3}$; c = $-\left(\sqrt{3}+1\right)$

d) 2x² + m² = 2(m – 1).x

⇔ 2x² – 2(m – 1).x + m² = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = -2(m – 1); c = m².

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) x² – 8 = 0;

b) 5x² – 20 = 0;

c) 0,4x² + 1 = 0

d) 2x² + √2x = 0;

e) -0,4x² + 1,2x = 0.

Lời giải

a) x² – 8 = 0

⇔ x² = 8

⇔ x = $\pm$2$\sqrt{2}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right\}$

b) 5x² – 20 = 0

⇔ 5x² = 20

⇔ x² = 4

⇔ x = $\pm$2 

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{-2;2\right\}$

c) 0,4x² + 1 = 0

⇔ 0,4x² = -1

⇔ $x^2=-1:(0,4)$

$\iff x^2=\frac{-1}{40}$

Phương trình vô nghiệm vì x² ≥ 0 với mọi x.

d) 2x² + x$\sqrt{2}$ = 0

⇔ x.$\sqrt{2}$.$\left(x\sqrt{2}+1\right)$ = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x\sqrt{2}=0\\ x\sqrt{2}+1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ \sqrt{2}x=-1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{\frac{-\sqrt{2}}{2};0\right\}$

e) -0,4x² + 1,2x = 0

⇔ -0,4x.(x – 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}-0,4x=0\\ x-3=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $S=\left\{0;3\right\}$

Bài 3: Cho các phương trình:

Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.

Lời giải

Bài 4: Hãy giải phương trình : 2x² + 5x + 2 = 0 theo các bước như ví dụ 3 trong bài học.

Lời giải

(Lưu ý: Các phần giải thích các bạn có thể không trình bày vào bài làm)

2x² + 5x + 2 = 0

⇔ 2x² + 5x = -2 (Chuyển 2 sang vế phải)

(Tách  thành  và thêm bớt  để vế trái thành bình phương).

Vậy phương trình có hai nghiệm 

Bài 5: Giải các phương trình :

a. 7x² – 5x = 0     b. -√2 x² + 6x = 0

c. 3,4x² + 8,2x = 0    

Lời giải:

a. Ta có: 7x² – 5x = 0 ⇔ x(7x – 5) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 7x – 5 = 0

7x – 5 = 0 ⇔ x = 5/7 .

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 0, x₂= 5/7

b. Ta có: -√2 x² + 6x = 0 ⇔ x(6 - √2 x) = 0

⇔ x = 0 hoặc 6 - √2 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3√2

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 0, x₂ = 3√2

c. Ta có: 3,4x² + 8,2x = 0 ⇔ x(3,4x + 8,2) = 0

⇔ x = 0 hoặc 3,4x + 8,2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -(8,2)/(3,4)

Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂= -(4,1)/(1,7)

d.Ta có: -2/5.x² - 7/3.x = 0 ⇔ 6x² + 35x = 0 ⇔ x(6x + 35) = 0

⇔ x = 0 hoặc 6x + 35 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -35/6 .

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 0, x₂ = -35/6

Bài 6: Giải các phương trình:

a. 5x² – 20 = 0    b. -3x² + 15 = 0

c. 1,2x² – 0,192 = 0    d. 1172,5x² + 42,18 = 0

Lời giải:

a.Ta có: 5x² – 20 = 0 ⇔ 5x²= 20 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ±2

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 2, x₂ = -2

b.Ta có: -3x² + 15 = 0 ⇔ -3x² = -15 ⇔ x² = 5 ⇔ x = ±√5

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = √5 , x₂ = -√5

c.Ta có: 1,2x² – 0,192 = 0 ⇔ 1,2x² = 0,192 ⇔ x² = 0,16 ⇔ x = ±0,4

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁= 0,4, x₂ = -0,4

d.Ta có: x² ≥ 0 ⇒ 1172,5x² ≥ 0 ⇒ 1172,5x² + 42,18 > 0

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình nên phương trình vô nghiệm.

Bài 7: Giải các phương trình :

a. (x – 3)² = 4     b. (1/2 - x)²– 3 = 0

c. (2x - √2 )² – 8 = 0     d. (2,1x – 1,2)²– 0,25 = 0

Lời giải:

a.Ta có : (x – 3)² = 4 ⇔ (x – 3)² – 2² = 0

⇔ [(x – 3) + 2][(x – 3) – 2] = 0 ⇔ (x – 1)(x – 5) = 0

⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 5

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 5

b.Ta có: (1/2 - x)² – 3 = 0 ⇔ (1/2 - x)² – (√3 )² = 0

⇔ [(1/2 - x) + √3 ][(1/2 - x) - √3 ] = 0

⇔ (1/2 + √3 – x)( 1/2 - √3 – x) = 0

⇔ 1/2 + √3 – x = 0 hoặc 1/2 - √3 – x = 0

⇔ x = 1/2 + √3 hoặc x = 1/2 - √3

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1/2 + √3 , x₂ = 1/2 - √3

c.Ta có: (2x - √2 )² – 8 = 0 ⇔ (2x - √2 )² – (2√2 )² = 0

⇔ [(2x - √2 ) + 2√2 ][(2x - √2 ) - 2√2 ] = 0

⇔ (2x - √2 + 2√2 )(2x - √2 - 2√2 ) = 0

⇔ (2x + √2 )(2x - 3√2 ) = 0

⇔ 2x + √2 = 0 hoặc 2x - 3√2 = 0

⇔ x = -√2/2 hoặc x = 3√2/2

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = -√2/2 hoặc x₂ = 3√2/2

d.Ta có: (2,1x – 1,2)² – 0,25 = 0 ⇔ (2,1x – 1,2)² – (0,5)² = 0

⇔ [(2,1x – 1,2) + 0,5][(2,1x – 1,2) – 0,5] = 0

⇔ (2,1x – 1,2 + 0,5)(2,1x -1,2 – 0,5) = 0

⇔ (2,1x – 0,7)(2,1x – 1,7) = 0

⇔ 2,1x – 0,7 = 0 hoặc 2,1x – 1,7 = 0

⇔ x = (0,7)/(2,1) hoặc x = (1,7)/(2,1) ⇔ x = 1/3 hoặc x = 17/21

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1/3 hoặc x₂ = 17/21

Bài 8: Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số.

a. x² – 6x + 5 = 0     b. x² – 3x – 7 = 0

c. 3x² – 12x + 1 = 0     d. 3x² – 6x + 5 = 0

Lời giải:

a. Ta có : x² – 6x + 5 = 0 ⇔ x² – 2.3x + 5 + 4 = 4

⇔ x² – 2.3x + 9 = 4 ⇔ (x – 3)² = 2²

⇔ x – 3 = ±2 ⇔ x – 3 = 2 hoặc x – 3 = -2

⇔ x = 1 hoặc x = 5

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 5

d.Ta có : 3x² – 6x + 5 = 0 ⇔ x²- 2x + 5/3 = 0

⇔ x² – 2x + 5/3 + 1 = 1 ⇔ x² – 2x + 1 = 1 - 5/3

⇔ (x – 1)² = -2/3

Ta thấy (x – 1)²≥ 0 và -2/3 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 9: Nhận thấy rằng phương trình tích (x + 2)(x – 3) = 0, hay phương trình bậc hai x² – x – 6 = 0, có hai nghiệm là x₁ = -2, x₂ = 3. Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm mỗi phương trình là một trong những cặp số sau:

a. x₁ = 2, x₂ = 5     b. x₁ = -1/2 , x₂ = 3

c. x₁ = 0,1, x₂ = 0,2     d. x₁ = 1 - √2 , x₂ = 1 + √2

Lời giải:

a. Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình :

(x – 2)(x – 5) = 0 ⇔ x² – 7x + 10 = 0

b. Hai số -1/2 và 3 là nghiệm của phương trình :

(x + 1/2 )(x – 3) = 0 ⇔ 2x² – 5x – 3 = 0

c. Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình :

(x – 0,1)(x – 0,2) = 0 ⇔ x² – 0,3x + 0,02 = 0

d. Hai số 1 - √2 và 1 + √2 là nghiệm của phương trình :

[x – (1 - √2 )][x – (1 + √2 )] = 0

⇔ x² – (1 + √2 )x – (1 - √2 )x + (1 - √2 )(1 + √2 ) = 0

⇔ x² – 2x – 1 = 0

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

50 Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Hệ thức Vi – ét và ứng dụng (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (có đáp án năm 2023)