Tính chất trọng tâm tứ diện (2024) chi tiết, có bài tập và đáp án

Tính chất trọng tâm tứ diện

I. Lý thuyết

Khái niệm trọng tâm của tứ diện

Trọng tâm của tứ diện

Trước hết ta xét bài toán sau đây.

Bài toán

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD, BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn.

Khái niệm trọng tâm của tứ diện

Điểm G trong bài toán trên được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Ta có thể nói: Trọng tâm của một tứ diện là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của cặp cạnh đối diện.

Tính chất trọng tâm tứ diện

Một số sách dùng đẳng thức vectơ ở mục a) sau đây để định nghĩa trọng tâm của tứ diện.

Chứng minh

II.Bài tập 

Bài 1:

Giải

Qua bài tập trên ta có thêm một cách để xác định trọng tâm của tứ diện.

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 

Trả lời

Theo quy tắc 3 điểm ta có :

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên: 

Từ (1) và (2) ta có: 

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có P, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ABQ) và mặt phẳng (DCP) là đường thẳng d. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. d đi qua trung điểm hai cạnh AB và CD.

B. d đi qua trung điểm hai cạnh AB và AD.

C. d là đường thẳng PQ.

D. d là đường thẳng QA.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có M ∈ AB mà AB ⊂ (ABQ), nên M ∈ (ABQ) (1)

Khi đó đường trung tuyến CM đi qua trọng tâm P của của ∆ABC.

Do đó mặt phẳng (DCP) chính là mặt phẳng (DCM), nên M ∈ (DCP) (2)

Từ (1) và (2) suy ra M ∈ (ABQ) ∩ (DCP).

Tương tự ta cũng có N ∈ (ABQ) ∩ (DCP).

Suy ra (ABQ) ∩ (DCP) = MN.

Bài 2: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. A’ là trọng tâm của tam giác BCD. Tính tỉ số GA/GA’ là: