Cách xác định mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Định nghĩa
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua 4 đỉnh của tứ diện.
Phương pháp giải
+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).
+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.
Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.
Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
1. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
- Hình chóp S.ABC có:
- Hình chóp S.ABCD có:
2. Hình chóp đều
Cho hình chóp đều S.ABC
- Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.
- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.
- Bán kính:
⇒ Bán kính là:
3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC) và đáy ABC nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại O.
- Trong mp(d,SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS...
- Tìm bán kính:
Ta có: MIOA là hình chữ nhật.
Xét ΔMAI vuông tại M có:
4. Hình chóp khác
- Dựng trục Δ của đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
- (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính: khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. a B. 2a C. a√2 . D. 
Hướng dẫn giải:
▪ Ta có: 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB .
▪ Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .
▪ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC .
Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = a .
Chọn A.
Ví dụ 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = a√3 .
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.
+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.
+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có 
Suy ra R = SI = 
Mà AO = 
,
SO = 
Nên R = SI =
Chọn D.
Bài tập vân dụng (có đáp án)
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. a B. 2a C. a√2 . D. 
Hướng dẫn giải:
▪ Ta có: 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB .
▪ Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .
▪ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC .
Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = a .
Chọn A.
Bài 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = a√3 .
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.
+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.
+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có 
Suy ra R = SI = 
Mà AO = 
,
SO = 
Nên R = SI =
Chọn D.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, SBC là tam giác vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a, SA= 10a. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. 5a√2 . B. 5a√5 . C. 10a√2 . D. 2a√5 .
Hướng dẫn giải:
Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A.
Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; trong mặt phẳng (SA; d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I.
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R= IA= IB= IC= IS.
Ta có tứ giác NIOA là hình chữ nhật.
Xét tam giác NAI vuông tại N có:
Chọn A
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
⇒ O cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S. ABCD.
Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. (1)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó tam giác SMN cân tại S nên SO cũng là phân giác của góc MSN.
Trong tam giác SMN, kẻ phân giác góc SMN cắt SO tại I.
Suy ra IO= IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên (SAB). (2)
Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN nên:
• Cách khác để tính bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD:
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
Ta có: VS.ABCD
= VI.ABCD + VI.SAB + VI.SBC + VI.SCD + VI. SDA
Chọn C.
Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:
60 Bài tập về mặt cầu (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập khái niệm về mặt tròn xoay (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập khái niệm về khối đa diện ( có đáp án năm 2023 )
60 Bài tập về khối đa diện lồi và khối đa diện đều ( có đáp án năm 2023 )
