Mệnh đề kéo theo và ví dụ mới nhất 2024

                                                Mệnh đề kéo theo

Lý thuyết mệnh đề kéo theo

Cho P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Và được ký hiệu là P⇒Q.

Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo như sau:

- Mệnh đề P→Q chỉ sai khi đúng và sai.

* Ví dụ: Cho hai mệnh đề P :"5 chia hết cho 3" và Q:"6 là số chẵn"

- Khi đó P ⇒ Q phát biểu là: "Nếu 5 chia hết cho 3 thì 6 là số chẵn"

→ Đây là mệnh đề đúng vì P sai, Q đúng.

Như vậy khái niệm mệnh đề kéo theo cũng giống với phép kéo theo trong Lôgic học.

Trong logic khi xét mệnh đề P⇒Q, người ta thường không quan tâm xem P có là nguyên nhân của Q không. Mà người ta chỉ quan tâm đến tính đúng sai của nó. Vì P⇒Q chỉ sai khi P đúng và Q sai nên trong toán học để chứng minh P⇒Q đúng, người ta chỉ xét trường hợp P đúng và Q đúng. Và xét xem P có là nguyên nhân của Q không bằng các lập luận toán học.

Ví dụ về mệnh đề kéo theo

Ví dụ 1: Cho mệnh đề: nếu tam giác ABC có 3 góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

GT: tam giác ABC có 3 góc bằng nhau (mệnh đề P)

KL: tam giác ABC là tam giác đều (mệnh đề Q).

Ví dụ 2. Cho hai mệnh đề kéo theo dưới đây:

1) Nếu MNPQ là hình vuông thì MNPQ là hình chữ nhật;

2) Nếu 4t = 8 thì t = 2.

Em hãy chỉ ra hai mệnh đề A và B tương ứng với hai mệnh đề kéo theo trên.

Lời giải

1) Mệnh đề A: “MNPQ là hình vuông”.

Mệnh đề B: “MNPQ là hình chữ nhật”.

2) Mệnh đề A: “4t = 8”.

Mệnh đề B: “t = 2”.

Nhận xét:

(1) Mệnh đề kéo theo  có thể được phát biểu như sau: “Từ A suy ra B” hay “A kéo theo B”.

(2) Muốn xét tính đúng sai của một mệnh đề kéo theo  , ta chỉ cần xét một trường hợp là A đúng. Từ đó, nếu B đúng thì mệnh đề kéo theo trên là đúng, nếu B sai thì mệnh đề kéo theo trên là sai.

Ví dụ 3. Em hãy xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề kéo theo dưới đây:

1) M: “Nếu tứ giác EFGH có ba góc vuông thì nó là hình chữ nhật”;

2) N: “– 5 > – 6 kéo theo (– 5)2 > (– 6)2”.

Lời giải

1) M là mệnh đề kéo theo có dạng  , khi đó A: “Tứ giác EFGH có ba góc vuông” và B: “EFGH là hình chữ nhật”. Ta thấy rằng khi mệnh đề A đúng thì mệnh đề B cũng đúng. Vậy, mệnh đề  đúng hay mệnh đề M đúng.

2) N là mệnh đề kéo theo có dạng  , khi đó A: “– 5 > – 6” và B: “(– 5)2 > (– 6)2” hay B: “25 > 36”. Ta thấy rằng mệnh đề A đúng còn mệnh đề B thì sai. Vậy, mệnh đề  sai hay mệnh đề N sai.

Ví dụ 4. Cho các mệnh đề kéo theo sau đây:

1) Tam giác MNP có độ dài ba cạnh bằng nhau kéo theo tam giác đó là tam giác đều;

2) Từ 3m + 1 = 4 suy ra m = 1.

3) Nếu tứ giác UVTR có hai cạnh UV và TR song song với nhau thì tứ giác đó là hình thang.

Em hãy chỉ ra hai mệnh đề A và B tương ứng với mỗi mệnh đề kéo theo trên.

Lời giải

1) Mệnh đề A: “Tam giác MNP có độ dài ba cạnh bằng nhau”.

Mệnh đề B: “Tam giác MNP là tam giác đều”.

2) Mệnh đề A: “3m + 1 = 4”.

Mệnh đề B: “m = 1”.

3) Mệnh đề A: “Tứ giác UVTR có hai cạnh UV và TR song song với nhau”.

Mệnh đề B: “Tứ giác UVTR là hình thang”.

Ví dụ 5. Cho định lí sau: “Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”. Em hãy sử dụng hai cụm từ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu định lí trên theo những cách khác.

Lời giải

Định lí trên có thể được phát biểu theo cách sau: “Một tam giác là tam giác vuông là điều kiện cần để tam giác đó có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy”.

Định lí trên còn được phát biểu theo cách sau: “Một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy là điều kiện đủ để tam giác đó là tam giác vuông”.

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Cho số tự nhiên $n.$ Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q,$ biết:

$P:$ “$n$ chia hết cho $10$”;

$Q:$ “$n$ chia hết cho $5$”.

Lời giải : $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ chia hết cho $10$ thì $n$ chia hết cho $5$”.

Bài 2: Mỗi mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu $30$ là số tự nhiên chẵn thì $30$ chia hết cho $4.$

b) Nếu $1+1=3$ thì xe đạp có thể bay được.

Lời giải: 

a) Mệnh đề đã cho có dạng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q,$ với $P:$ “$30$ là số tự nhiên chẵn”, và $Q:$ “$30$ chia hết cho $4$”.

Ta thấy $P$ đúng và $Q$ sai, nên $P\Rightarrow Q$ sai.

Vậy mệnh đề “Nếu $30$ là số tự nhiên chẵn thì $30$ chia hết cho $4$” là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đã cho có dạng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q,$ với $P:“1+1+=3”,$ và $Q:$ “Xe đạp có thể bay được”.

Ta thấy $P$ sai nên $P\Rightarrow Q$ đúng (mà không cần xét đến $Q).$

Vậy mệnh đề “Nếu $1+1=3$ thì xe đạp có thể bay được” là mệnh đề đúng.

Bài 3: Với $n$ là số tự nhiên, xét hai mệnh đề:

$P:$ “$n$ có chữ số tận cùng là $0$”;

$Q:$ “$n$ chia hết cho $5$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có phải là một định lý không? Nếu phải, hãy sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu lại định lý này theo hai cách khác nhau.

Lời giải: 

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ có chữ số tận cùng là $0$ thì $n$ chia hết cho $5$”.

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng nên nó là một định lý. Ta phát biểu lại định lý này bằng hai cách là:

+) “$n$ có chữ số tận cùng là $0$” là điều kiện đủ để “$n$ chia hết cho $5$”.

+) “$n$ chia hết cho $5$” là điều kiện cần để “$n$ có chữ số tận cùng là $0$”.

Bài 4: Viết lại mỗi mệnh đề sau thành dạng $P\Rightarrow Q$ rồi dựa vào đó để xét tính đúng sai của nó:

a) Nếu $5$ là số tự nhiên thì $5$ không âm.

b) Vì $1+3=0$ nên $3<0.$

c) Vì $1+2=3$ nên $2>3.$

d) Nếu hình vuông có $5$ cạnh thì tam giác có $7$ đỉnh.

Lời giải

a) “$5$ là số tự nhiên” $\Rightarrow$ “$5$ không âm”.

Mệnh đề này đúng vì các mệnh đề “$5$ là số tự nhiên” và “$5$ không âm” đều đúng.

b) “$1+3=0$” $\Rightarrow$ “$3<0$”.

Mệnh đề này đúng vì “$1+3=0$” là mệnh đề sai.

c) “$1+2=3$” $\Rightarrow$ “$2>3$”.

Mệnh đề này sai vì mệnh đề “$1+2=3$” đúng và mệnh đề “$2>3$” sai.

d) “hình vuông có $5$ cạnh” $\Rightarrow$ “tam giác có $7$ đỉnh”.

Mệnh đề này đúng vì “hình vuông có $5$ cạnh” là mệnh đề sai.

Bài 5: Với $a,b,c$ là các số tự nhiên, xét các mệnh đề:

$P:$ “$a$ và $b$ đều chia hết cho $c$”.

$Q:$ “$a+b$ chia hết cho $c$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có phải là một định lý không?

$P:$ “$a$ và $b$ đều chia hết cho $c$”.

$Q:$ “$a+b$ chia hết cho $c$”.

Lời giải

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $a$ và $b$ đều chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$”.

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng nên là một định lý.

Xem thêm các dạng bài tập Toán chi tiết và hay khác:

90 Bài tập các khái niệm mở đầu (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập về Tích vô hướng của một vectơ với một số (có đáp án năm 2024)

80 Bài tập về vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2024)

90 Bài tập tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án năm 2023)