Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Cánh diều)

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Góc lượng giác

1.1. Góc hình học và số đo của chúng

– Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.

Một đơn vị khác được sử dụng nhiều khi đo góc là radian (đọc là ra-đi-an), viết tắt là rad.

Nhận xét:

Chú ý: Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo của góc.

Chẳng hạn, $\frac{\pi }{2}$ rad cũng được viết là $\frac{\pi }{2}$.

Ví dụ 1. Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một góc sau:

Hướng dẫn giải

Ta có 

Thực hiện tương tự như trên, ta thu được bảng sau:

1.2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a) Khái niệm

Quy ước chọn chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm.

Góc lượng giác: Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

Ví dụ 2.

+ Trong hình bên dưới, ta thấy tia Om quay theo chiều dương, xuất phát từ tia Ob đến trùng với tia Oa. Do đó góc lượng giác là (Ob, Oa), với tia đầu là Ob, tia cuối là Oa.

+ Trong hình bên dưới, ta thấy tia Om quay theo chiều âm, xuất phát từ tia Oc đến trùng với tia Od. Do đó góc lượng giác là (Oc, Od), với tia đầu là Oc, tia cuối là Od.

Nhận xét:

– Khi tia Om quay góc a° thì góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo a° (hay $\frac{\pi a}{180}$ rad).

– Mỗi một góc lượng giác đều có một số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian.

– Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng α thì ta kí hiệu là sđ(Ou, Ov) = α hoặc (Ou, Ov) = α.

Ví dụ 3.

+ Khi tia Om quay góc 420°, với tia đầu là Od, tia cuối là Og thì góc lượng giác (Od, Og) mà tia Om quét nên có số đo bằng 420°. Ta kí hiệu là sđ(Od, Og) = 420° hoặc (Od, Og) = 420°.

+ Khi tia Om quay góc $\frac{2\pi }{3}$, với tia đầu là Oh, tia cuối là Ok thì góc lượng giác (Oh, Ok) mà tia Om quét nên có số đo bằng $\frac{2\pi }{3}$. Ta kí hiệu là sđ(Oh, Ok) = $\frac{2\pi }{3}$ hoặc (Oh, Ok) = $\frac{2\pi }{3}$.

– Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

Ví dụ 3. Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau:

a) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Oy, tia cuối Oz và có số đo là –450°.

b) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Oh, tia cuối Ok và có số đo $\frac{9\pi }{4}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có –450° = (–360°) + (–90°).

Vì –450° < 0° nên góc lượng giác đã cho quay theo chiều âm.

Vậy góc lượng giác gốc O có tia đầu Oy, tia cuối Oz và có số đo là –450° được biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác như sau:

b) Ta có $\frac{9\pi }{4}=\frac{8\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=2\pi +\frac{\pi }{4}$.

Vì $\frac{9\pi }{4}>0$ nên góc lượng giác đã cho quay theo chiều dương.

Vậy góc lượng giác gốc O có tia đầu Oh, tia cuối Ok và có số đo $\frac{9\pi }{4}$ được biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác như sau:

b) Tính chất

Định lí: Nếu một góc lượng giác có số đo α° (hay α radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác đó có số đo dạng: α° + k360° (hay α + k2π), với k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.

Ví dụ 4.

+ Công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng 145° là: 145° + k360°, k là số nguyên.

+ Công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{\pi }{6}$ là: $-\frac{\pi }{6}+k2\pi$, k là số nguyên.

Định lí (hệ thức Chasles): Với ba tia tùy ý Ou, Ov, Ow, ta có:

(Ou, Ov) + (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2π (k ∈ ℤ).

Ví dụ 5. Cho góc lượng giác (Ov, Ow) có số đo là $\frac{\pi }{3}$, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là $-\frac{5\pi }{6}$. Tìm số đo của góc lượng giác (Ou, Ov).

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Chasles, ta có: (Ou, Ov) = (Ou, Ow) – (Ov, Ow) + k2π (k ∈ ℤ).

$=-\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (k ∈ ℤ).

$=-\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy $\left(Ou,Ov\right)=-\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ (k ∈ ℤ).

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

2.1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước: Chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm. Như vậy, mặt phẳng tọa độ Oxy đã được định hướng.

Đường tròn lượng giác: Trong mặt phẳng tọa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1; 0). Đường tròn tâm O bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

Chú ý: Các điểm B(0; 1), A’(–1; 0), B’(0; –1) nằm trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 6. Xác định điểm M, N trên đường tròn lượng giác thỏa mãn các trường hợp sau:

a) (OA, OM) = –240°.

Hướng dẫn giải

a) Vì –240° < 0° nên góc lượng giác (OA, OM) quay theo chiều âm.

Ta có –240° = (–180°) + (–60°).

Do đó góc –240° quay theo chiều âm nửa vòng tròn (từ điểm A đến điểm A’) và một phần ba của nửa vòng tròn tiếp theo (từ điểm A’ đến điểm M).

Chia cung A’A thành ba phần bằng nhau, ta xác định được vị trí của điểm M được biểu diễn như hình bên dưới.

b) Vì $\frac{\pi }{4}>0$ nên góc lượng giác (OA, ON) quay theo chiều dương.

Gọi N là điểm chính giữa cung AB trên đường tròn lượng giác.

Khi đó vị trí của điểm N thỏa mãn $\left(OA,ON\right)=\frac{\pi }{4}$ được biểu diễn như hình bên dưới.

2.2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

– Trong trường hợp tổng quát, với mỗi góc lượng giác α, lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (Hình vẽ).

Gọi tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Oxy là (x; y).

⦁ Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc lượng giác α và kí hiệu cosα, cosα = x.

⦁ Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc lượng giác α và kí hiệu sinα, sinα = y.

⦁ Nếu cosα ≠ 0 thì tỉ số $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ gọi là tang của góc lượng giác α và kí hiệu tanα, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

⦁ Nếu sinα ≠ 0 thì tỉ số $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ gọi là côtang của góc lượng giác α và kí hiệu là cotα, $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.

– Dấu của các giá trị lượng giác của góc α = (OA, OM) phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác ­(Hình vẽ).

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

Ví dụ 7. Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =\frac{2\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải

Do 

Các công thức lượng giác cơ bản:

⦁ cos²α + sin²α = 1, với mọi α;

⦁ $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }$, với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0;

⦁ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, với cosα ≠ 0;

⦁ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$, với sinα ≠ 0.

Ví dụ 8. Cho góc lượng giác α sao cho $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ và $\cos \alpha =\frac{1}{5}$. Tính sinα, tanα, cotα.

Hướng dẫn giải

Bảng dưới đây nêu lên các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Ví dụ 9. Tính giá trị của biểu thức $D={\sin }^2\frac{5\pi }{6}+{\cot }^2\frac{\pi }{6}+\tan \frac{3\pi }{4}+\cos \frac{2\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải

2.3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

– Hai góc đối nhau (α và – α):

– Hai góc bù nhau (α và π – α):

– Hai góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}-\alpha$):

– Hai góc hơn kém nhau π (α và α + π):

Ví dụ 10. Tính:

a) 

b) N = cos20° + cos40° + cos60° + cos120° + cos140° + cos160°.

Hướng dẫn giải

a) 

$=-\sin \frac{\pi }{6}-\tan \frac{\pi }{4}$

$=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$.

b) N = cos20° + cos40° + cos60° + cos120° + cos140° + cos160°

= cos20° + cos40° + cos60° + cos(180° – 60°) + cos(180° – 40°) + cos(180° – 20°)

= cos20° + cos40° + cos60° – cos60° – cos40° – cos20°

= (cos20° – cos20°) + (cos40° – cos40°) + (cos60° – cos60°)

= 0.

2.4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó. Cụ thể như sau:

⦁ Nếu đơn vị của góc lượng giác là độ (°), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ “độ”.

⦁ Nếu đơn vị của góc lượng giác là radian (rad), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

Bài tập Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =\frac{3\pi }{4}$.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{3\pi }{4}$ (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox, Oy.

Khi đó $\widehat{AOM}=\frac{3\pi }{4}$.

Suy ra $\widehat{BOM}=\widehat{KOM}=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$.

Tam giác KOM vuông tại K, có:

⦁ $OK=OM.\cos \widehat{KOM}=1.\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

⦁ $MK=OM.\sin \widehat{KOM}=1.\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra tọa độ .

Vậy $\sin \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\cos \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\tan \frac{3\pi }{4}=\frac{\sin \frac{3\pi }{4}}{\cos \frac{3\pi }{4}}=-1$ và $\cot \frac{3\pi }{4}=\frac{\cos \frac{3\pi }{4}}{\sin \frac{3\pi }{4}}=-1$.

Bài 2. Tìm số đo α của góc lượng giác (Ou, Ov) với 0 ≤ α ≤ 2π (0° ≤ α ≤ 360°), biết một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:

a) $\frac{33\pi }{4}$;

b) $-\frac{291983\pi }{3}$;

c) 3270°.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: .

Vì 0 ≤ α ≤ 2π nên $0\le \frac{33\pi }{4}+k2\pi \le 2\pi$.

$\iff -\frac{33\pi }{4}\le k2\pi \le -\frac{25\pi }{4}$.

$\iff -\frac{33}{8}\le k\le -\frac{25}{8}$.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = –4.

Vậy .

b) Ta có: .

Vì 0 ≤ α ≤ 2π nên $0\le -\frac{291983\pi }{3}+k2\pi \le 2\pi$.

$\iff \frac{291983\pi }{3}\le k2\pi \le \frac{291989\pi }{3}$.

$\iff \frac{291983}{6}\le k\le \frac{291989}{6}$.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = 48664.

Vậy $\alpha =-\frac{291983\pi }{3}+48664.2\pi =\frac{\pi }{3}$.

c) Ta có: (Ou,Ov) = α = 3270° + k.360° (k ∈ ℤ).

Vì 0° ≤ α ≤ 360° nên 0° ≤ 3270° + k.360° ≤  360°.

⇔ –3270° ≤ k.360° ≤  –2910°.

$\iff -\frac{109}{12}\le k\le -\frac{97}{12}$.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = –9.

Vậy α = 3270° + (–9).360° = 30°.

Bài 3.

a) Cho $\cos x=\frac{2}{3}$. Tính $A=\frac{\tan x+3\cot x}{\tan x+\cot x}$.

b) Cho $\sin x=-\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$. Tính $B=\frac{\sin x+3\cos x}{\tan x}$.

c) Cho tanx = 3. Tính $C=\frac{\sin x-\cos x}{{\sin }^{3}x+3{\cos }^{3}x+2\sin x}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $A=\frac{\tan x+3\cot x}{\tan x+\cot x}=\frac{\tan x+3.\frac{1}{\tan x}}{\tan x+\frac{1}{\tan x}}$ (do cosx ≠ 0)

b) Vì $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$ nên cosx > 0.

Ta có sin²x + cos²x = 1, suy ra

.

$\iff \cos x=\frac{3}{5}$ (do cosx > 0).

Suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=-\frac{4}{3}$.

Khi đó $B=\frac{\sin x+3\cos x}{\tan x}=\frac{-\frac{4}{5}+3.\frac{3}{5}}{-\frac{4}{3}}=-\frac{3}{4}$.

c) Do tanx = 3 nên cosx ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của C cho cos³x, ta được:

$C=\frac{\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}-\frac{\cos x}{{\cos }^{3}x}}{\frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{3}x}+3+2.\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}}$

Bài 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC, có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Suy ra $\widehat{A}+2\widehat{B}+\widehat{C}=180°+\widehat{B}$ và $\widehat{B}+\widehat{C}=180°-\widehat{A}$.

VP = tanA.cot(B + C) = tanA.cot(180° – A) = tanA.(–cotA) = –tanA.cotA = –1 .

Khi đó VT = VP (= –1).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 5. Một bánh xe có bán kính R = 2,4 m quay một góc bằng 30°. Tính độ dài đường đi của một điểm bất kì trên vành bánh xe.

Hướng dẫn giải

Ta xem vành bánh xe là một đường tròn có bán kính R = 2,4 m.

Độ dài đường đi của một điểm bất kì trên vành bánh xe là độ dài của cung tròn có số đo 30°.

Vậy độ dài đường đi cần tìm là $\frac{30°.2\pi .R}{360°}=\frac{30°.2\pi \mathrm{.2,4}}{360°}=\mathrm{0,4}$ m.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

Lý thuyết Bài 1: Dãy số