Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Dãy số (Cánh diều)

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Dãy số

1. Khái niệm

Khái niệm dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → ℝ (m ∈ ℕ^*) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số u_k nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_m.

– Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Khái niệm dãy số vô hạn: Mỗi hàm số u: ℕ^* → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số u_n nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_n, ...

– Dãy số đó còn được viết tắt là (u_n).

– Số u₁ gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u₂ gọi là số hạng thứ hai, …, số u_n gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

Ví dụ 1.

a) Hàm số u(n) = n xác định trên tập M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

b) Cho $u_n=\frac{n}{2n+1}$. Hãy viết dạng khai triển của dãy (u_n).

Hướng dẫn giải

a) Số hạng đầu và số hạng cuối của dãy lần lượt là u₁ = 1, u₆ = 6.

Dạng khai triển của dãy đó là: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

b) Ba số hạng đầu của dãy số (u_n) là: $u_1=\frac{1}{3};u_2=\frac{2}{5};u_3=\frac{3}{7}$.

Tương tự như vậy, ta viết được dạng khai triển của dãy (u_n) có $u_n=\frac{n}{2n+1}$là:

$\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{3}{7}\mathrm{,....,}\frac{n}{2n+1}\mathrm{,...}$

2. Cách cho một dãy số

Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:

– Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).

– Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

– Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

– Cho bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ 2.

• Dãy số: 1, 3, 5, 7, 9, 11 là dãy cho bởi cách liệt kê các số hạng.

• Dãy số (u_n) gồm các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó  (u_n) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

• Khi nói đến dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n}{2n+1}$ ta hiểu đó là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

• Dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 1 và u_n = 3 – 2u_{n – 1}, với n ≥ 2. Đây là dãy cho bởi phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay giảm. Chẳng hạn, dãy số (u_n) với (u_n) = (–1)ⁿ có dạng khai triển –1, 1, –1, 1, –1, … không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với u_n = 5n + 3 là dãy số tăng.

Hướng dẫn giải

Với mọi n ∈ ℕ^*, ta có: u_n+1 = 5(n + 1) + 3 = 5n + 8.

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = (5n + 8) – (5n + 3) = 5 > 0

Suy ra u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với u_n = 2n² – 3 là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

• Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 ⇒  n² ≥ 1

⇒ u_n = 2n² – 3 ≥ 2.1 – 3 = –1.

⇒ u_n ≥ –1

⇒ Dãy (u_n) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

• (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n² – 3 ≤ M với mọi n ∈ N*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Bài tập Dãy số

Bài 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = (–1)ⁿ.2n.

a) Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy;

b) Viết dạng khai triển của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Sáu số hạng đầu của dãy là:

u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –6; u₄ = 8; u₅ = –10; u₆ = 12.

b) Dạng khai triển của dãy (u_n) là: –2, 4, –6, 8, …., (–1)ⁿ.2n, ….

Bài 2. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với $u_n=\frac{4}{3}-n^2$ là dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

Vì n ∈ ℕ* nên 2n + 1 ≥ 3

Suy ra  –(2n + 1) ≤ –3 < 0

Do đó u_n+1 < u_n, suy ra dãy số là dãy số giảm.

• Vì n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ* nên –n² ≤ –1

Suy ra $\frac{4}{3}-n^2\le \frac{1}{3}$

Hay $u_n\le \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau:

a) Cho dãy số (u_n) với u_n là các số chính phương được sắp xếp từ bé đến lớn (1)

b) Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n}{n^2+1}$(2)

c)  Cho dãy số (u_n) với  u₁ = –1, u_n = 2u_{n – 1} + 3 (với n > 1) (3)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (1) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

b) Dãy số (2) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

c) Dãy (3) được xác định bằng phương pháp truy hồi.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2