Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản (Cánh diều)

Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình tương đương

– Định nghĩa:

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f₁(x) = g₁(x) tương đương với phương trình f₂(x) = g₂(x) thì ta viết f₁(x) = g₁(x) ⇔ f₂(x) = g₂(x).

Chú ý: Khi giải phương tình cần lưu ý tới điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

– Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Ví dụ 1. Giải phương trình (2x – 1)² = 3x² – 7x + 11.

Hướng dẫn giải

Ta có (2x – 1)² = 3x² – 7x + 11.

⇔ 4x² – 4x + 1 = 3x² – 7x + 11.

⇔ x² + 3x – 10 = 0.

.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {–5; 2}.

2. Phương trình sinx = m

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình sinx = m như sau:

⦁ Với |m| > 1, phương trình sinx = m vô nghiệm.

⦁ Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn  sao cho sinα = m. Khi đó, ta có:

Chú ý:

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sinx = m:

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sinx = sina° như sau:

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

3. Phương trình cosx = m

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cosx = m như sau:

⦁ Với |m| > 1, phương trình cosx = m vô nghiệm.

⦁ Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn [0; π] sao cho cosα = m. Khi đó, ta có:

.

Chú ý:

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cosx = m:

⦁ cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ);

⦁ cosx = –1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ);

.

b) Ta có: .

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cosx = cosa° như sau: .

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

b) $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

c) cosx = cos142°;

d) cos4x = sinx.

Hướng dẫn giải

a) Do $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\cos x=\cos \frac{\pi }{4}$.

b) Do $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\cos x=\cos \frac{5\pi }{6}$.

c) cosx = cos(–142°).

⇔ cosx = cos142°.

4. Phương trình tanx = m

Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình tanx = m như sau:

Gọi α là số thực thuộc khoảng  sao cho tanα = m. Khi đó với mọi m ∈ ℝ, ta có:

tanx = m ⇔ tanx = tanα ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tanx = tana° như sau:

tanx = tana° ⇔ x = a° + k180° (k ∈ ℤ).

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) $\tan 2x=-\sqrt{3}$;

b) tanx = tan210°.

Hướng dẫn giải

b) tanx = tan210°.

⇔ tanx = tan(180° + 30°).

⇔ tanx = tan30°.

⇔ x = 30° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 30° + k180° (k ∈ ℤ).

5. Phương trình cotx = m

Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình cotx = m như sau:

Gọi α là số thực thuộc khoảng (0; π) sao cho cotα = m. Khi đó với mọi m ∈ ℝ, ta có:

cotx = m ⇔ cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cotx = cota° như sau:

cotx = cota° ⇔ x = a° + k180° (k ∈ ℤ).

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a) ;

b) cot2x = cot24°.

Hướng dẫn giải

b) cot2x = cot24°.

⇔ 2x = 24° + k180° (k ∈ ℤ).

⇔ x = 12° + k90° (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 12° + k90° (k ∈ ℤ).

6. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

Có thể sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Chú ý: Để giải phương trình cotx = a (a ≠ 0) bằng MTCT, ta đưa về giải phương trình $\tan x=\frac{1}{a}$.

Ví dụ 6. Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):

a) $\sin x=\frac{1}{4}$;

b) cos2x = –0,7;

c) tanx = –2;

d) cotx = 5.

Hướng dẫn giải

Chuyển MTCT sang chế độ “radian”.

a) Bấm liên tiếp các phím sau trên MTCT: .

Ta được kết quả gần đúng (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: 0,253.

Khi đó, ta có: .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là .

b) Bấm liên tiếp các phím sau trên MTCT: .

Ta được kết quả gần đúng (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: 2,346.

Khi đó, ta có: cos2x = –0,7 ⇔ 2x ≈ ±2,346 + k2π (k ∈ ℤ).

⇔ x ≈ ±1,173 + kπ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x ≈ ±1,173 + kπ (k ∈ ℤ).

c) Bấm liên tiếp các phím sau trên MTCT: .

Ta được kết quả gần đúng (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: –1,107.

Khi đó, ta có: tanx = –2 ⇔ x ≈ –1,107 + kπ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x ≈ –1,107 + kπ (k ∈ ℤ).

d) $\cot x=5\iff \tan x=\frac{1}{5}$.

Bấm liên tiếp các phím sau trên MTCT: .

Ta được kết quả gần đúng (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: 0,197.

Khi đó, ta có: .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x ≈ 0,197 + kπ (k ∈ ℤ).

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

⇔ x = –60° + k360° (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –60° + k360° (k ∈ ℤ).

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) sinx.cos2x = sin2x.cos3x;

Hướng dẫn giải

a) sinx.cos2x = sin2x.cos3x.

c) $2{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos 5x+1$.

$\iff \cos 5x+1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=0$.

⇔ cos5x + cosx = 0.

⇔ 2cos3x.cos2x = 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là .

Bài 3.

a) Cho phương trình $\sin \frac{x}{3}=m^2+9$, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm?

b) Cho phương trình , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm?

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: D = ℝ.

Phương trình $\sin \frac{x}{3}=m^2+9$ vô nghiệm ⇔ |m² + 9| > 1.

⇔ m² + 9 > 1.

⇔ m² > –8, ∀m ∈ ℝ.

Vậy phương trình $\sin \frac{x}{3}=m^2+9$ vô nghiệm, ∀m ∈ ℝ.

b) TXĐ: D = ℝ.

Phương trình  có nghiệm 

Bài 4. Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình , với t là thời gian tính bằng giây và x là quãng đường tính bằng cm. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm t sao cho x = 0, với 0 ≤ t ≤ 5.

Ta có x = 0.

Ta có 0 ≤ t ≤ 5.

$\iff 0\le \frac{7}{24}+\frac{1}{4}k\le 5$.

$\iff -\frac{7}{24}\le \frac{1}{4}k\le \frac{113}{24}$.

$\iff -\frac{7}{6}\le k\le \frac{113}{6}$.

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18}.

Có tất cả 20 giá trị k thỏa mãn.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 20 lần.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

Lý thuyết Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng