Giải SGK Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: a)  Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1

b)  Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình

Lời giải:

a) b)

Luyện tập - Vận dụng 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,ON\right)=-\frac{\pi }{3}$

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ 

Lời giải:

Hoạt động 7 trang 10 Toán 11 Tập 1: a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)={60}^{\circ }$

b) So sánh hoành độ của điểm M với $\cos {60}^{\circ }$; tung độ của điểm M với $\sin {60}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định

Lời giải:

a)    

b) $\cos {60}^{\circ }$ bằng hoành độ của điểm M

$\sin {60}^{\circ }$ bằng tung độ của điểm M

Luyện tập - Vận dụng 7 trang 11 Toán 11 Tập 1: Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác $\beta =-\frac{\pi }{4}$

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để tính

Lời giải:

$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2};\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-2$

Hoạt động 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =-{30}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left(-{30}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}>0\\ \sin \left(-{30}^{\circ }\right)=-\frac{1}{2}<0\\ \tan \left(-{30}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0\\ \cot \left(-{30}^{\circ }\right)=-\sqrt{3}<0\end{array}$

Luyện tập - Vận dụng 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =\frac{5\pi }{6}$

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng xét dấu sau:

Lời giải:

Do $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$ nên

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\\ \sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)>0\\ \tan \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\\ \cot \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\end{array}$

Hoạt động 9 trang 11 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác $\alpha$. So sánh

a)     ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$ và 1

b)     $\tan \alpha .\cot \alpha$ và 1 với $\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0$

c)     $1+{\tan }^2\alpha$ và  $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0$

d)     $1+{\cot }^2\alpha$ và  $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ với $\sin \alpha \ne 0$

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh

Lời giải:

a)     ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

b)     $\tan \alpha .\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$

c)     $\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$

d)     $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=1+{\cot }^2\alpha$

Luyện tập - Vận dụng 9 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác $\alpha$sao cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ và $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$. Tìm $\cos \alpha$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

Lời giải:

Vì ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ nên ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Do $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos \alpha <0$. Suy ra $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$

Hoạt động 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha ={45}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Dựa vào các kiến thức đã học để tính

Lời giải:

$\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan \left({45}^{\circ }\right)=\frac{1}{2};\cot \left({45}^{\circ }\right)=2$

Luyện tập - Vận dụng 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

$Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2}$

Phương pháp giải:

Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt

Lời giải:

Ta có

$\begin{array}{l}Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2}\\ ={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+1+0=\frac{7}{2}\end{array}$

Hoạt động 11 trang 13 Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác $\left(OA,OM\right)=\alpha ,\left(OA,O{M}^{\prime }\right)=-\alpha$ (Hình 13)

a)     Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b)     Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha v\text{'}a-\alpha$

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ ( hình 13)

Lời giải:

a)  Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

     Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b)  Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha v\text{'}a-\alpha$

Luyện tập - Vận dụng 11 trang 14 Toán 11 Tập 1: a) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}$

b) $\tan 1^{\circ }.\tan 2^{\circ }.\tan {45}^{\circ }.\tan {88}^{\circ }.\tan {89}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trong bảng:

Lời giải:

a) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}\right)={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}=1$

b)

$\begin{array}{l}\tan 1^{\circ }.\tan 2^{\circ }.\tan {45}^{\circ }.\tan {88}^{\circ }.\tan {89}^{\circ }\\ =(\tan 1^{\circ }.\tan {89}^{\circ }).(\tan 2^{\circ }.\tan {88}^{\circ }).\tan {45}^{\circ }\\ =(\tan 1^{\circ }.\cot 1^{\circ }).(\tan 2^{\circ }.\cot 2^{\circ }).\tan {45}^{\circ }\\ =1\end{array}$

Luyện tập - Vận dụng 12 trang 14 Toán 11 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính ;

a) $\tan (-{75}^{\circ });$b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải:

a) $\tan (-{75}^{\circ })=-2-\sqrt{3}$

b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)\approx -1,376$

Bài tập (trang 15)

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác $\left(OA,OM\right),\left(OA,ON\right),\left(OA,OP\right)$ lần lượt bằng $\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị lượng giác để tính từng cạnh của tam giác MNP

Lời giải:

Hình minh họa:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: ${225}^{\circ };-{225}^{\circ };-{1035}^{\circ }$;$\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác sau:

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left({225}^{\circ }\right)=\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\sin \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left({225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left({225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{225}^{\circ }\right)=\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{225}^{\circ }\right)=-\sin \left({225}^{\circ }\right)=-\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=-1\\ \cot \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)=\cos \left({1035}^{\circ }\right)=\cos \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=\cos \left(-{45}^{\circ }\right)=\cos \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=-\sin \left(-{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left(-{1035}^{\circ }\right)}{\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left(-{1035}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\cos \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\sin \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\cos \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0\\ \sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\sin \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1\\ \tan \left(\frac{19\pi }{2}\right)\\ \cot \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)}{\sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}{\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\\ \cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{1}{\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\end{array}$

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:

a)     $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

b)     $k\pi \left(k\in Z\right)$

c)     $\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

d)     $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Phương pháp giải:

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

b)

 $\begin{array}{l}\cos \left(k\pi \right)=[\begin{array}{l}-1;k=2n+1\\ 1;k=2n\end{array}\\ \sin \left(k\pi \right)=0\\ \tan \left(k\pi \right)=\frac{\sin \left(k\pi \right)}{\cos \left(k\pi \right)}=0\\ \cot \left(k\pi \right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=[\begin{array}{l}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1;k=2n+1\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1;k=2n\end{array}\\ \tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\\ \cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\end{array}$

d)

Với k=2n+1 thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=sin\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Với k=2n thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=co\mathrm{s}\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a)     $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$

b)     $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$

c)     $\tan \alpha =3$ với $-\pi <\alpha <0$

d)     $\cot \alpha =-2$ với $0<\alpha <\pi$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau :

${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

$\tan \alpha .\cot \alpha =1$ với $\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ với $\sin \alpha \ne 0$

Lời giải:

a)  Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{16}$

Lại có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{4}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=-\sqrt{15};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{15}}$

b)

Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$

Lại có $-\pi <\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$

c)

Ta có$\tan \alpha =3$ nên

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+3^2=10\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$

Với $-\pi <\alpha <0$thì $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{\frac{9}{10}}$

Với $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{10}}$

và  $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{10}}$

d)

Ta có$\cot \alpha =-2$ nên

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+co{\mathrm{t}}^2\alpha =1+(-2{)}^2=5\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$

Với $0<\alpha <\pi$thì $\sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}$

Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{4}{5}}$

và  $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{4}{5}}$

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính

a)  $A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ }$ (17 số hạng)

b)  $B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ }$ (35 số hạng)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác sau:

$\sin ({90}^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha ;\cos ({180}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{85}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ })+...+({\sin }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{55}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\cos }^2{5}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\cos }^2{15}^{\circ })+...+({\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{35}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =1+1+...+1+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ } \\ =(\cos 5^{\circ }+\cos {175}^{\circ })+(\cos {10}^{\circ }+\cos {170}^{\circ })+...+(\cos {85}^{\circ }+\cos {95}^{\circ })+\cos {90}^{\circ } \\ =0+0+....+0+0=0 \end{gathered}$$

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 3 giờ

a)    Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau: 1h; 3h; 5h

b)    Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị?

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Chiều dài một vòng của quỹ đạo là : $\mathrm{9000.2.}\pi$ (km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là $\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}=6000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 3 giờ là $18000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là $\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}.5=30000\pi$(km)

b)Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau sô giờ là : $\frac{200000}{6000\pi }\approx 11$( giờ)