Đáp án đúng là: B

Ta có I là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó $\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-4+2+2}{3}=0\\ y_I=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+4-2}{3}=1\end{array}$

Suy ra I(0; 1).

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

⇔ 4.3 + 5.a = 0    

⇔ 12 + 5a = 0

⇔ 5a = –12

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Với $\overrightarrow{a}=(1;2), \overrightarrow{b}=(-2;3)$ ta có:

+) $3\overrightarrow{a}=(3.1;3.2)=(3;6), 2\overrightarrow{b}=(2.(-2);2.3)=(-4;6)$

Suy ra $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(3-4;6+6)=(-1;12)$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}=(3;4), 5\overrightarrow{b}=(5.(-2);5.3)=(-10;15) \\ Suy ra \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}=(3-(-10);4-15)=(13;-11) \end{gathered}$$

+ Với A(–3; 0), B(3; 0), C(2; 6) và H(a; b) ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}=(-1;6),\overrightarrow{AC}=(5;6) \\ \overrightarrow{AH}=(a+3;b),\overrightarrow{BH}=(a-3;b) \end{gathered}$$

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$

Do đó $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

Khi đó ta có (a + 3).(–1) + 6b = 0

Vì vậy –a + 6b – 3 = 0     (1).

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$

Do đó $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Khi đó ta có (a – 3).5 + 6b = 0

Vì vậy 5a + 6b – 15 = 0   (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}-a+6b-3=0\\ 5a+6b-15=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=\frac{5}{6}\end{array}$

Vậy ta chọn phương án C.

Vì M là trung điểm AB nên $\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+9}{2}=6\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{5+7}{2}=6\end{array}$

Suy ra M(6; 6).

Vì N là trung điểm AC nên $\{\begin{array}{l}{x}_N=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{3+11}{2}=7\\ y_N=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{5-1}{2}=2\end{array}$

Suy ra N(7; 2).

Do đó ta có $\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M)=(7-6;2-6)=(1;-4)$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d): $\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-3+5t\end{array}$

(d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;5)$

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$ nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}5x_M+2y_M+1=0\\ 3x_M-2y_M-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_M=0\\ y_M=-\frac{1}{2}\end{array}$

Khi đó ta có $M(0;-\frac{1}{2})$

Đáp án đúng là: A

• (d): x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = x + 5 ⇔ $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Do đó (d) có hệ số góc $k=\frac{1}{2}$

Vì vậy phương án A đúng.

• (d) và (d’) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=(1;-2) và \overrightarrow{n^{\text{'}}}=(1;-2)$.

Ta có $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n^{\text{'}}}$

Do đó (d) và (d’) song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy phương án B sai.

• Thay tọa độ A(1; –2) vào phương trình (d), ta được:

1 – 2.(–2) + 5 = 10 ≠ 0.

Suy ra A(1; –2) không thuộc (d) hay (d) không đi qua A(1; –2).

Do đó phương án C sai.

• (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2)$ .

Suy ra (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1)$  .

Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ .

Ta có: 2.(–2) – 1.1 = –5 ≠ 0.

Suy ra  không cùng phương với .

Do đó phương trình tham số ở đáp án D không phải là phương trình tham số của (d).

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Đường cao BH: x – y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$  .

Vì BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra vectơ pháp tuyến của BH là vectơ chỉ phương của AC.

Do đó vectơ chỉ phương của AC là ${\overrightarrow{u}}_{AC}={\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$ .

Vì vậy AC có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$ .

Đường thẳng AC đi qua C(–1; 2), có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$

Suy ra phương trình AC: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0.

⇔ x + y – 1 = 0.

Ta có A là giao điểm của AC và AN.

Do đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ 2x-y+5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}$

Khi đó ta có $A(\frac{-4}{3};\frac{7}{3})$

Vậy ta chọn phương án A.

Với A(–1; 2). B(2; 1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=(3;-1)\Rightarrow AB=\sqrt{3^2+{(-1)}^2}=\sqrt{10}$

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(3;-1)$  nên đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{n}=(1;3)$  làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AB đi qua B(2; 1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;3)$  nên có phương trình tổng quát là:

1.(x – 2) + 3.(y – 1) = 0 ⇔ x + 3y – 5 = 0.

Vì C ∈ d nên ta có x_C + 2y_C – 3 = 0.

Suy ra x_C = 3 – 2y_C

Khi đó ta có C(3 – 2y_C; y_C)

Gọi CH là đường cao của ∆ABC.

Ta suy ra CH = d(C, AB) = $\frac{|3-2y_C+3y_C-5|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|y_C-2|}{\sqrt{10}}$

Ta có S_∆ABC = 2.

⇔ |y_C – 2| = 4

⇔ y_C – 2 = 4 hoặc y_C – 2 = –4.

⇔ y_C = 6 hoặc y_C = –2.

• Với y_C = 6, ta có: x_C = 3 – 2y_C = 3 – 2.6 = –9.

Suy ra C(–9; 6).

• Với y_C = –2, ta có: x_C = 3 – 2y_C = 3 – 2.( –2) = 7.

Suy ra C(7; –2).

Vậy có hai điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán là C(–9; 6), C(7; –2).

Do đó ta chọn phương án D.

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 0), bán kính R = $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = m, b = 2(m – 2), c = 6 – m.

Ta có a² + b² – c = m² + 4(m² – 4m + 4) – 6 + m = 5m² – 15m + 10.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0.

Nghĩa là 5m² – 15m + 10 > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 2.

Vậy m ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Ta có I ∈ d.

Suy ra a + 3b + 8 = 0 ⇔ a = –3b – 8.

Ta có đường tròn (C) đi qua điểm A(–2; 1) nên AI = R (1).

Lại có đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d(I, ∆) = R (2).

Từ (1), (2), ta suy ra IA = d(I, ∆).

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{{(a+2)}^2+{(b-1)}^2}=\frac{|3a-4b+10|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}} \\ \iff \sqrt{{(-3b-8+2)}^2+{(b-1)}^2}=\frac{|3(-3b-8)-4b+10|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}} \\ \iff 5\sqrt{{(-3b-6)}^2+{(b-1)}^2}=|-13b-14| \end{gathered}$$

⇔ 25(9b² + 36b + 36 + b² – 2b + 1) = 169b² + 364b + 196

⇔ 81b² + 486b + 729 = 0

⇔ b = –3.

Với b = –3, ta có a = –3b – 8 = –3.(–3) – 8 = 1.

Khi đó ta có I(1; –3).

R = AI = $\sqrt{{(1+2)}^2+{(-3-1)}^2}=5$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)² + (y + 3)² = 25.

Vậy ta chọn phương án D.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –2, b = –2, c = –17.

Suy ra tâm I(–2; –2), bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+17}=5$

Vì ∆ // d nên phương trình ∆ có dạng: 3x – 4y + d = 0 (d ≠ –2023).

Ta có ∆ là tiếp tuyến của (C).

Suy ra d(I, ∆) = R.

$\iff \frac{|3.(-2)-4.(-2)+d|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=5$

⇔ |d + 2| = 25

⇔ d + 2 = 25 hoặc d + 2 = –25

⇔ d = 23 (nhận) hoặc d = –27 (nhận).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: 3x – 4y + 23 = 0 và 3x – 4y – 27 = 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=(3;-4)$

Theo đề, ta có ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của d làm vectơ chỉ phương.

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_d=(3;-4)$

Khi đó ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=(4;3)$

Vì vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆: 4x + 3y + c = 0.

Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên d(I, ∆) = R.

$\iff \frac{|4.2+3.(-4)+c|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$

⇔ |c – 4| = 25

⇔ c – 4 = 25 hoặc c – 4 = –25

⇔ c = 29 hoặc c = –21.

Vậy ∆: 4x + 3y + 29 = 0 hoặc ∆: 4x + 3y – 21 = 0.

Do đó ta chọn phương án D.

Ta viết phương trình d₁:

Ta có 3² + 2² – 2.3 – 4.2 + 1 = 0 (đúng).

Do đó điểm M ∈ (C).

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = 2, c = 1.

Suy ra tâm I(1; 2), bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+4-1}=2$ .

Phương trình d₁ là: (1 – 3)(x – 3) + (2 – 2)(y – 2) = 0

⇔ –2(x – 3) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

Tương tự, ta viết phương trình d₂:

Ta có 1² + 0² – 2.1 – 4.0 + 1 = 0 (đúng).

Do đó N ∈ (C).

Phương trình d₂ là: (1 – 1)(x – 1) + (2 – 0)(y – 0) = 0

⇔ y = 0.

Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂.

Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{l}x-3=0\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=0\end{array}$

Khi đó ta có tọa độ A(3; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông A chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆. Khi đó ta có:

$d(A,\Delta )=\frac{|2-5.3+6|}{\sqrt{1^2+{(-5)}^2}}=\frac{7\sqrt{26}}{26}\approx 1,37$(km).

Vậy ta chọn phương án C.

(E): $\frac{x^2}{121}+\frac{y^2}{81}=1$  nên ta có a = 11, b = 9.

Suy ra $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{121-81}=2\sqrt{10}$

Ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là: $\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{10}}{11}$

Hypebol $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{16}=1$  nên ta có a = 12, b = 4.

Suy ra $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+16}=4\sqrt{10}$

Quan sát hình vẽ, ta thấy đỉnh gương là vị trí A₂.

Suy ra A₂(12; 0).

Vì $c=4\sqrt{10}$  nên ta có tọa độ các tiêu điểm $F_1(-4\sqrt{10};0) và F_2(4\sqrt{10};0)$  và .

Khoảng cách từ ống kính tới đỉnh gương là:

F₁A₂ = F₁O + OA₂ = $|-4\sqrt{10}|+\left|12\right|=4\sqrt{10}+12\approx 24,6$  (inch).

Do đó ta chọn phương án A.

Phương trình parabol có dạng y² = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2}=\frac{10}{2}=5$

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.