Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 3. Tổ hợp (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)
-
399 lượt thi
-
5 câu hỏi
-
0 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 8 điểm phân biệt, trên d2 có 6 điểm phân biệt. Số tam giác có ba đỉnh lấy từ 14 điểm đã cho là:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì hai đường thẳng này song song nên để tạo thành 1 tam giác ta phải lấy 1 điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng kia.
Trường hợp 1: Lấy 1 điểm trên đường thẳng d1 và 2 điểm trên đường thẳng d2.
Số tam giác có được là: \(C_8^1.C_6^2 = 120\) tam giác.
Trường hợp 2: Lấy 2 điểm trên đường thẳng d1 và 1 điểm trên đường thẳng d2.
Số tam giác có được là: \(C_8^2.C_6^1 = 168\) tam giác.
Số tam giác có ba đỉnh lấy từ 14 điểm đã cho là 120 + 168 = 288 tam giác.
Câu 2:
Tìm n biết \(C_n^{n - 2} + 2n = 9\) với n ≥ 2, n ∈ ℕ.
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(C_n^{n - 2} + 2n = 9\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} + 2n - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2}} + 2n - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1)}}{2} + 2n - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - n + 4n - 18 = 0\)
⇔ n2 + 3n – 18 = 0
⇔ (n – 3).(n + 6) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 3 = 0\\n + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\,\,\,(tm)\\n = - 6\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\).
Câu 3:
Có 7 nhà Toán học nam, 4 nhà Toán học nữ và 5 nhà Vật lí nam. Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác gồm 3 người có cả nam và nữ đồng thời có cả Toán học và Vật lí.
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trường hợp 1: Đoàn công tác gồm 1 nhà Toán học nam, 1 nhà Toán học nữ và 1 nhà Vật lí nam.
Số cách chọn là: \(C_7^1.C_4^1.C_5^1 = 140\) cách.
Trường hợp 2: Đoàn công tác gồm 1 nhà Toán học nữ và 2 nhà Vật lí nam.
Số cách chọn là: \(C_4^1.C_5^2 = 40\) cách
Trường hợp 3: Đoàn công tác gồm 2 nhà Toán học nữ và 1 nhà Vật lí nam.
Số cách chọn là: \(C_4^2.C_5^1 = 30\) cách
Số cách lập một đoàn công tác gồm 3 người trong đó có cả nam và nữ cả Toán học và Vật lí là:
140 + 40 + 30 = 210 cách.Câu 4:
Tìm n biết \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\) với n > 2, n ∈ ℕ.
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - n + 2} \right)!}} = 14n\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1).(n - 2).(n - 3)!}}{{(n - 3)!}} + \frac{{n.(n - 1)(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2!}} = 14n\)
\( \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 14n\)
\( \Leftrightarrow ({n^2} - n).(n - 2) + \frac{{{n^2} - n}}{2} = 14n\)
\( \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 2{n^2} + 2n + \frac{{{n^2} - n}}{2} = 14n\)
\( \Leftrightarrow 2{n^3} - 2{n^2} - 4{n^2} + 4n + {n^2} - n - 28n = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{n^3} - 5{n^2} - 25n = 0\)
\( \Leftrightarrow n(2{n^2} - 5n - 25) = 0\)
\( \Leftrightarrow n(2n + 5)(n - 5) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\2n + 5 = 0\\n - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(ktm)\\n = \frac{{ - 5}}{2}(ktm)\\n = 5(tm)\end{array} \right.\)
Vậy n = 5.
Câu 5:
Cho số tự nhiên n thỏa mãn \(C_n^2 + A_n^2 = 9n.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
ĐK: n ≥ 2, n ∈ ℕ
\(C_n^2 + A_n^2 = 9n.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 9n\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1)(n - 2)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n.(n - 1).(n - 2)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 9n\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1)}}{2} + n.(n - 1) = 9n\)
\( \Leftrightarrow (n - 1)\left( {\frac{n}{2} + n} \right) = 9n\)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}n\left( {n - 1} \right) = 9n\)
\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{n^2} - \frac{3}{2}n - 9n = 0\]
\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n - 18n = 0\)
\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 21n = 0\)
\( \Leftrightarrow 3n\left( {n - 7} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3n = 0\\n - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(ktm)\\n = 7(tm)\end{array} \right.\)
Vậy n chia hết cho 7.