32 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 2)

Câu 1:

Tính $\lim (n^{3} - 2 n + 1)$ ?

A. 0

B. 1

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $l i m (n^{3} - 2 n + 1) = l i m n^{3} (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$ .

Vì $l i m n^{3} = + \infty$ và $l i m (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) = 1 - 0 + 0 = 1$

Nên theo quy tắc 2, $l i m (n^{3} - 2 n + 1) = + \infty$

Câu 2:

Tính $\lim (5 n - n^{2} + 1)$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 5

D. -1

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có $5 n - n^{2} + 1 = n^{2} (\frac{5}{n} - 1 + \frac{1}{n^{2}})$

Vì $l i m n^{2} = + \infty$ và $l i m (\frac{5}{n} - 1 + \frac{1}{n^{2}}) = - 1 < 0$ nên $l i m (5 n - n^{2} + 1) = - \infty$ (theo quy tắc 2).

Câu 3:

Tính $l i m u_{n}$ , với $u_{n} = \frac{5 n^{2} + 3 n - 7}{n^{2}}$ ?

A. 5

B. 0

C. 3

D. -7

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có :

$l i m u_{n} = l i m (\frac{5 n^{2}}{n^{2}} + \frac{3 n}{n^{2}} - \frac{7}{n^{2}}) = l i m (5 + \frac{3}{n} - \frac{7}{n^{2}}) = 5 + 0 - 0 = 5$

Câu 4:

Tính $l i m u_{n}$ với $u_{n} = \frac{2 n^{3} - 3 n^{2} + n + 5}{n^{3} - n^{2} + 7}$ ?

A. -3

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $n^{3}$ ( là lũy thừa bậc cao nhất củan trong phân thức), ta được:

$u_{n} = \frac{2 n^{3} - 3 n^{2} + n + 5}{n^{3} - n^{2} + 7} = \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}}}{1 - \frac{1}{n} + \frac{7}{n^{3}}}$ .

Vì $l i m (2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}}) = 2$ và $l i m (1 - \frac{1}{n} + \frac{7}{n^{3}}) = 1 ≢ 0$ nên $l i m \frac{2 n^{3} - 3 n^{2} + n + 5}{n^{3} - n^{2} + 7} = \frac{2}{1} = 2$ .

Câu 5:

Giới hạn của dãy số ( $u_{n}$ ) với $u_{n} = \frac{n^{3} + 2 n + 1}{n^{4} + 3 n^{3} + 5 n^{2} + 6}$ bằng

A. 1

B. 0

C. $+ \infty$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là B

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $n^{4}$ ( $n^{4}$ là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

$l i m u_{n} = l i m \frac{n^{3} + 2 n + 1}{n^{4} + 3 n^{3} + 5 n^{2} + 6} = l i m \frac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}} + \frac{6}{n^{3}}} = \frac{0 + 0 + 0}{1 + 0 + 0 + 0} = 0$ .

Câu 6:

Giới hạn của dãy số ( $u_{n}$ ) với $u_{n} = \frac{3 n^{3} + 2 n - 1}{2 n^{2} - n}$ , bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. 0

C. $+ \infty$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Chia cả tử và mẫu cho $n^{2}$ ( $n^{2}$ là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được :

$u_{n} = \frac{3 n^{3} + 2 n - 1}{2 n^{2} - n} = \frac{3 n + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{2 - \frac{1}{n}}$

Do $l i m (3 n + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = + \infty; l i m (2 - \frac{1}{n}) = 2 > 0$

Vậy $l i m u_{n} = + \infty$

Cách 2: Ta có $l i m u_{n} = l i m \frac{n^{3} (3 + \frac{2}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}})}{n^{2} (2 - \frac{1}{n})} = l i m (n \frac{3 + \frac{2}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}}{2 - \frac{1}{n}})$

Vì $l i m n = + \infty$ và $l i m \frac{3 + \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{3}{2} > 0$ nên theo quy tắc 2, $l i m u_{n} = + \infty$

Câu 7:

$l i m \frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1}$ bằng

A. 0

B. 1

C. $+ \infty$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $|\frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1}| \leq \frac{1}{n^{2} + 1}$ mà $l i m \frac{1}{n^{2} + 1} = 0$ nên $l i m \frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1} = 0$

Câu 8:

Tính giới hạn I $= l i m (\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} - n)$

A. I = -1

B. I= 1

C. I = 0

D. I = $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

I= $l i m (\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} - n) = l i m \frac{(\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} - n) (\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n)}{\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n}$

$= l i m \frac{(n^{2} - 2 n + 3) - n^{2}}{\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n} = l i m \frac{- 2 n + 3}{\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n} = l i m \frac{- 2 + \frac{3}{n}}{\sqrt{1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}} + 1} = \frac{- 2}{\sqrt{1} + 1} = - 1$

Câu 9:

$l i m (n - \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n + 2})$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có $l i m (n - \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n + 2}) = l i m n (1 - \sqrt[3]{8 + \frac{3}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}})$

Vì $l i m n = + \infty$ , $l i m (1 - \sqrt[3]{8 + \frac{3}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}}) = 1 - \sqrt[3]{8} = - 1 < 0$ nên $l i m (n - \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n + 2}) = - \infty$ .

Câu 10:

$l i m (n^{2} - n \sqrt{4 n + 1})$ bằng:

A. -1

B. 3

C. $+ \infty$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $n^{2} - n \sqrt{4 n + 1} = n^{2} (1 - \sqrt{\frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}}})$

Vì $l i m n^{2} = + \infty$ và $l i m (1 - \sqrt{\frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}}}) = 1 > 0$ nên theo quy tắc 2:

$l i m (n^{2} - n \sqrt{4 n - 1}) = + \infty$

Câu 11:

$l i m (n - \sqrt[3]{n^{3} + 3 n^{2} + 1})$ bằng :

A. -1

B. 1

C. $+ \infty$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án là A

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của $n - \sqrt[3]{n^{3} + 3 n^{2} + 1}$

$l i m \frac{n^{3} - (n^{3} + 3 n^{2} + 1)}{(n^{2} + n \sqrt[3]{n^{3} + 3 n^{2} + 1} + \sqrt[3]{{(n^{3} + 3 n^{2} + 1)}^{2}})}$

$l i m \frac{- 3 n^{2} - 1}{n^{2} + n^{2} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}}} + n^{2} . \sqrt[3]{{(1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}})}^{2}}}$

$= l i m \frac{- 3 - \frac{1}{n^{2}}}{1 + \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}}} + \sqrt[3]{{(1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}})}^{2}}} = \frac{- 3 - 0}{1 + 1 + 1} = - 1$

Câu 12:

$l i m (5^{n} - 2^{n})$ bằng :

A. $- \infty$

B. 3

C. $+ \infty$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $5^{n} - 2^{n} = 5^{n} (1 - {(\frac{2}{5})}^{n})$

Vì $l i m 5^{n} = + \infty$ và $l i m (1 - {(\frac{2}{5})}^{n}) = 1 > 0$ nên theo quy tắc 2, $l i m (5^{n} - 2^{n}) = + \infty$

Câu 13:

$l i m \frac{4 . 3^{n} + 7^{n + 1}}{2 . 5^{n} + 7^{n}}$ bằng :

A. 1

B. 7

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{7}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

$l i m \frac{4 . 3^{n} + 7^{n + 1}}{2 . 5^{n} + 7^{n}} = l i m \frac{4 . {(\frac{3}{7})}^{n} + 7}{2 . {(\frac{5}{7})}^{n} + 1} = \frac{4.0 + 7}{2.0 + 1} = 7$

Câu 14:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $0, 32111 . . .$ được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ , trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a-b .

A. 611

B . 27 901

C. - 611

D. -27901.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$0, 32111 . . . = \frac{32}{100} + \frac{1}{10^{3}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{5}} + . . . = \frac{32}{100} + \frac{\frac{1}{10^{3}}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{289}{900}$ .

Vậy $a = 289, b = 900$ . Do đó $a - b = 289 - 900 = - 611$ .

Câu 15:

$l i m \frac{3 + 3^{2} + 3^{3} + . . . + 3^{n}}{1 + 2 + 2^{2} + . . . + 2^{n}}$ bằng:

A. $+ \infty$

B. 3

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là A

Ta có ở tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 3$ và q=3 .

Do đó $3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n} = 3. \frac{3^{n} - 1}{3 - 1} = \frac{3}{2} (3^{n} - 1)$

Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiền của cấp số nhân $(v_{n})$ với $v_{1} = 1$ và q=2.

Do đó $1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n} = 1. \frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1$

Vậy

$\begin{array}{l} \lim \frac{3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n}}{1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n}} \\ = \lim \frac{3}{2} . \frac{3^{n} - 1}{2^{n + 1} - 1} \\ = \lim \frac{3}{2} . \frac{1 - \frac{1}{3^{n}}}{2. {(\frac{2}{3})}^{n} - \frac{1}{3^{n}}} \\ = + \infty \end{array}$

Câu 16:

Giá trị của $\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1}$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $0$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Câu 17:

Kết quả đúng của $l i m (5 - \frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1})$ là:

A. 4

B. 5

C. -4

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có: $- 1 \leq \cos 2 n \leq 1$ nên :

$- \frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}$

Ta có $l i m - \frac{n}{n^{2} + 1} = l i m - \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = 0$ ; $l i m \frac{n}{n^{2} + 1} = l i m \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = 0$ ;

$\Rightarrow l i m (\frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1}) = 0 \Rightarrow l i m (5 - \frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1}) = 5 - 0 = 5$ .

Câu 18:

Giá trị của $C = l i m \frac{{(2 n^{2} + 1)}^{4} {(n + 2)}^{9}}{n^{17} + 1}$ bằng:

A. $- \infty$

B. $+ \infty$

C. 16

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Ta có: $C = l i m \frac{n^{8} {(2 + \frac{1}{n^{2}})}^{4} n^{9} {(1 + \frac{2}{n})}^{9}}{n^{17} (1 + \frac{1}{n^{17}})} = l i m \frac{{(2 + \frac{1}{n^{2}})}^{4} . {(1 + \frac{2}{n})}^{9}}{1 + \frac{1}{n^{17}}} = \frac{2^{4} . 1}{1 + 0} = 16$

Câu 19:

Cho dãy số $u_{n}$ với $u_{n} = (n - 1) \sqrt{\frac{2 n + 2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$ . Chọn kết quả đúng của $l i m u_{n}$ là:

A. $- \infty$

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có: $l i m u_{n} = l i m (n - 1) \sqrt{\frac{2 n + 2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$

$= l i m \sqrt{\frac{{(n - 1)}^{2} (2 n + 2)}{n^{4} + n^{2} - 1}}$
$= l i m \sqrt{\frac{2 n^{3} - 2 n^{2} - 2 n + 2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$

$= l i m \sqrt{\frac{\frac{2}{n} - \frac{2}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}}}{1 + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{4}}}} = 0 V i l i m (\frac{2}{n} - \frac{2}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}}) = 0 - 0 - 0 + 0 = 0 l i m (1 + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{4}}) = 1 + 0 - 0 = 1$

Câu 20:

Tính giới hạn: $\frac{1 + 3 + 5 . . . + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4}$

A. 0

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là B

$l i m \frac{1 + 3 + 5 + . . . + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4}$

Ta có: 1+3 + 5+ .... + (2n +1) là tổng của n +1 số hạng 1 cấp số cộng có $u_{1}$ = 1 và công sai d =2.

Nên 1+ 3 + 5+ .. + (2n+1) $= \frac{(n + 1)}{2} . [2.1 + (n + 1 - 1) . 2] = {(n + 1)}^{2}$

$l i m \frac{1 + 3 + 5 + . . . + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4} = l i m \frac{{(n + 1)}^{2}}{3 n^{2} + 4}$

$= l i m \frac{n^{2} + 2 n + 1}{3 n^{2} + 4} = l i m \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{3}$

Câu 21:

Giá trị của. $H = l i m (\sqrt{n^{2} + n + 1} - n)$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Ta có:

Câu 22:

Tính giới hạn: $[\frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + . . . + \frac{1}{n (n + 2)}]$

A. $\frac{3}{4}$

B. 1

C. 0

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là A

$l i m [\frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + . . . + \frac{1}{n (n + 2)}]$

Ta có :

$l i m [\frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + . . . + \frac{1}{n (n + 2)}] = l i m \frac{1}{2} . [\frac{2}{1.3} + \frac{2}{2.4} + . . . + \frac{2}{n (n + 2)}]$

$l i m \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} . . . + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) = l i m \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - 0) = \frac{3}{4}$

Câu 23:

Kết quả $l i m (7 n^{4} + 2 n^{2} - 5 n)$ bằng:

A. -∞

B. 4

C. 7

D. +∞

Xem đáp án

Chọn D

Câu 24:

$\lim (- 3 n^{3} + 2 n^{2} - 5)$ bằng :

A. -∞

B. -6

C. 7

D.+∞

Xem đáp án

Chọn A

Câu 25:

$l i m (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n})$ bằng:

A. +∞

B. $\sqrt{7} - 1$

C. 7/2

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

$\lim (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n}) = \lim \frac{n + 7 - n}{\sqrt{n + 7} + \sqrt{n}} = \lim \frac{7}{\sqrt{n + 7} + \sqrt{n}}$ = 0

Câu 26:

Gọi $L = l i m (\sqrt{n^{2} + 2} - \sqrt{n^{2} - 4})$

Khi đó n bằng:

A. +∞

B. 6

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Câu 27:

Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 3?

A. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{3 n^{2} - 1}{n}$

B. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{3 n^{2} - n^{4}}{n^{2} + 3}$

C. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{n^{2} - 3 n^{3}}{n - n^{3}}$

D. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{2 n^{2} - 2 n^{3}}{n^{3} - 5 n}$

Xem đáp án

Chọn C

Để giới hạn bằng 1 số thực thì bậc của từ và mẫu bằng nhau

Xét phương án C;

Câu 28:

$l i m 2 n (\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3})$ bằng:

A. +∞

B. 4

C. 2

D. -1

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} \lim 2 n (\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3}) = \lim 2 n \frac{n^{2} + 1 - n^{2} + 3}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}} \\ = \lim \frac{8 n}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}} = \lim \frac{8 n}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} + n \sqrt{1 - \frac{3}{n^{2}}}} = \lim \frac{8}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n^{2}}}} = 4 \end{array}$

Câu 29:

$l i m \frac{2 n + \sin 2 n}{2 n + 5}$ bằng:

A. 2/5

B. 1/7

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

$\lim \frac{2 n + \sin 2 n}{2 n + 5} = \lim \frac{2 n}{2 n + 5} + \lim \frac{\sin 2 n}{2 n + 5}$

Ta có $\lim \frac{2 n}{2 n + 5} = l i m \frac{2}{2 + \frac{5}{n}} = \frac{2}{2 + 0} = 1$ và

$0 \leq |\frac{\sin 2 n}{2 n + 5}| \leq \frac{1}{2 n + 5}$ mà $\lim \frac{1}{2 n + 5} = 0$

Suy ra $\lim \frac{\sin 2 n}{2 n + 5} = 0$ .

Vậy $\lim \frac{2 n + \sin 2 n}{2 n + 5} = 1 + 0 = 1$

Câu 30:

$l i m \frac{\sqrt{4 n^{2} + 1} - \sqrt{n + 2}}{2 n - 3}$ bằng:

A. 1

B. 3/2

C. 2

D. +∞

Xem đáp án

Chọn A

$\lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 1} - \sqrt{n + 2}}{2 n - 3} = \lim \frac{n \sqrt{4 + \frac{1}{n}} - n \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}}{n (2 - \frac{3}{n})} = \lim \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} - \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}}{(2 - \frac{3}{n})} = \frac{\sqrt{4 + 0} - \sqrt{0 + 0}}{2 - 0} = 1$

Câu 31:

Tổng của cấp số nhân vô hạn: $- \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{8}; . . . . \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{n}}; . . . l à$

A. 1/3

B. (-1)/3

C. -2/3

D. -1

Xem đáp án

Chọn B

Ta thấy cấp số nhân với $\{\begin{cases} u_{1} = - \frac{1}{2} \\ q = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$S = - \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = - \frac{1}{3}$

Câu 32:

Tổng của cấp số nhân vô hạn: $\frac{1}{3}; - \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; . . . . .; \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{3^{n}}; . . . .$ là:

A. 1/4

B. 1/2

C. 3/4

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Ta thấy cấp số nhân với $\{\begin{cases} u_{1} = \frac{1}{3} \\ q = - \frac{1}{3} \end{cases}$

$S = \frac{1}{3} . \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$

Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 2)

Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 2)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương