Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án (Đề 5)
-
420 lượt thi
-
20 câu hỏi
-
0 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Hàm số nào dưới đây liên tục trên ℝ?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đáp án B: tập xác định D = ℝ\{1}.
Đáp án C: tập xác định D = [0;+¥).
Đáp án D: tập xác định D = (0;+¥).
Đáp án A; tập xác định D = ℝ.
Vậy hàm số f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) liên tục trên ℝ.
Câu 2:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa, ta có: \[f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\] Þ f'(1) = 2.
Câu 3:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có y = \(\sqrt x \) Þ y' = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Câu 4:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có y = sin2x + 1
Þ y' = (2x)'.cos2x = 2cos2x.
Câu 5:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có y = \(\frac{1}{{5x + 1}}\) Þ y' = \( - \frac{5}{{{{(5x + 1)}^2}}}\).
Câu 6:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: y' = −3x2 + 3 Þ y'(2) = −9.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số y tại điểm M(2; 0) bằng −9.
Câu 7:
Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5. Tập nghiệm của bất phương trình f '(x) < 0 là
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: f '(x) = 3x2 – 6x – 9
Giải f '(x) < 0 Û 3x2 – 6x – 9 < 0
Û x2 – 2x – 3 < 0 Û −1 < x < 3.
Câu 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cũng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có (SAB) và (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy
Þ SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BD.
Mà AC ^ BD (đường chéo hình thoi ABCD).
Þ BD ^ (SAC) mà BD Ì (SBD) Þ (SAC) ^ (SBD).
Câu 9:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: a(t) = v'(t) = 6 – 2t = 0
Þ t = 3(s) Þ v(3) = 9 (m/s).
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là 9 m/s.
Câu 10:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f(x) - 3} \right] = 4\) Û f(2) – 3 = 4 Û f(2) = 7.
Câu 11:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng nửa cạnh đáy. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A’BC).
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi H là trung điểm BC.
Trong mặt phẳng AA’H dựng AK ^ A’H tại K.
Þ d[A,(A’BC)] = AK.
AH = a\(\sqrt 3 \), AA’ = a.
AK = \[\frac{{AA'.AH}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{H^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 3 }}{{{{\sqrt {{a^2} + \left( {a\sqrt 3 } \right)} }^2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]
Câu 12:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10] sao cho đồ thị hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 – mx2 + (m + 9)x + 2022 có đúng hai tiếp tuyến với hệ số góc bằng 3?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tập xác định: D = ℝ.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x;y) là: k = y' = x2 – 2mx + m + 9.
Theo đề bài, ta có: k = 3
Û x2 – 2mx + m + 9 = 3
Û x2 – 2mx + m + 6 = 0 (1)
Đồ thị hàm số có đúng 2 tiếp tuyến với hệ số góc bằng 3
Û phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Û ∆' = (−m)2 – (m + 6) = m2 – m – 6 > 0
Û \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 3}\\{m < - 2}\end{array}} \right.\).
Vì m Î [−10;10] và m nguyên nên m Î [−10;-3] È [4;10].
Vậy có 15 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 13:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5x - 10}}{{{x^2} + x - 6}}\)
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5x - 10}}{{{x^2} + x - 6}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{5}{{(x + 3)}} = 1.\)
Câu 14:
Tính các giới hạn sau:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - 3 - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right).\)
\(\mathop { = \lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2 - \frac{3}{x} - \sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty .\)
Câu 15:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 – 15.
b) y = x.cosx.
c) y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \).
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
a) Ta có y = x4 – 2x2 – 15.
Do đó y' = 4x3 – 4x.
b) Ta có y = x.cosx.
Do đó y' = (x)'.cosx + x.(cosx)' = cosx – x.sinx.
c) Ta có y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \)
Do đó y' = \(\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Câu 16:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Với x = 2 Þ y = 5 Þ M(2;5).
Ta có y' = \( - \frac{3}{{{{(x - 1)}^2}}}.\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y'(2) = −3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3(x – 2) + 5 Û y = −3x + 11.
Vậy phương trình tiếp tiếp của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là y = −3x + 11.
Câu 17:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = \(\frac{1}{2}\)AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là SA = \(2\sqrt 2 a.\)
Chứng minh rằng (SBC) ^ (SAB).
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Ta có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC (1).
Lại có ABCD là hình thang vuông tại B nên AB ^ BC (2).
Từ (1), (2) suy ra BC ^ (SAB) Þ (SBC) ^ (SAB).
Câu 18:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng (SAB) dựng AH ^ SB tại H, chứng minh được AH ^ (SBC).
Từ đó d[A,(SBC)] = AH.
Trong tam giác SAB ta có:
AH = \(\frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}\)= \(\frac{{\left( {2a\sqrt 2 } \right).2a}}{{\sqrt {{{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\)
Vậy d[A,(SBC)] = \(\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\)
Câu 19:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm AD
Suy ra tứ giác ABCM là hình vuông
Do đó AC ^ BM.
Ta thấy BC // MD, BC = MD = 2a
Suy ra tứ giác BCDM là hình bình hành nên BM // CD.
Từ đó Þ CD ^ AC và ta có CD ^ SA (do SA ^ (ABCD)) nên CD ^ (SAC).
Trong mặt phẳng (SAC) dựng AK ^ SC tại K, chứng minh được AK ^ (SCD) (3).
Lại có AD ^ SA, AD ^ AB Þ AD ^ (SAB) (4).
Từ (3) và (4) Þ [(SAB),(SCD)] = (AK,AD) = \(\widehat {KAD}.\)
Ta có AC = \(2a\sqrt 2 \) và SA = \(2a\sqrt 2 \) Þ AK = 2a.
Trong tam giác vuông AKD vuông tại K ta có:
cos\(\widehat {KAD}\)= \(\frac{{AK}}{{AD}}\)= \(\frac{1}{2}\)Þ \(\widehat {KAD}\)= 60°.
Vậy [(SAB),(SCD)] = 60°.
Câu 20:
Xem đáp án
Huớng dẫn giải
∙ y = f(x4) Þ y' = (4x3).f '(x4)
Þ K1 = y'(1) = 4.f '(1).
∙ y = x2.f(2x2 – 1) Þ y' = 2x.f(2x2 – 1) + 4x3.f '(2x2 – 1).
Þ K2 = y'(1) = 2f(1) + 4f '(1).
Theo đề bài ta có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau nên K1.K2 = −1
Û 4. f '(1).[2f(1) + 4f '(1)] = −1.
Đặt t = f'(1) Þ f(1) = \( - \frac{1}{{8t}} - 2t\)
Þ |f(1)| ≥ \(2\sqrt {\frac{1}{{8t}}.2t} = 1\)
Þ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(1) \le - 1}\\{f(1) \ge 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2f(1) - 1 \le - 3}\\{2f(1) - 1 \ge 1}\end{array}} \right.\)
Þ |2f(1) – 1| ≥ 1 Þ (2f(1) – 1)2 ≥ 1.
Khi đó: T = [2f(1) – 1]2 – 6 ≥ 1 – 6 = −5.
Vậy MinT = −5 khi f(1) = 1.