Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 4: Mặt phẳng song song với mặt phẳng có đáp án

Dạng 2: Tìm thiết diện nhờ quan hệ song song có đáp án

  • 127 lượt thi

  • 22 câu hỏi

  • 0 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp. (ảnh 1)

Gọi O=ACDB.

Do SO nằm trong SBD nên SO // α.

Mặt phẳng (SAC) chứa SO và có điểm chung với αI, do đó SACα=IK với IK // SO và KSA.

Tương tự SABα=KE với KE // SB và EAB.

SADα=KF với KF // SD và FAD.

Suy ra thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD là tam giác KEF.

Ta có EFBD=AEAB=AFAD=AKAS=KESB=KFSD

ΔSBD đồng dạng với ΔKEF.

Tam giác SBD là tam giác đều nên ΔKEF cũng là tam giác đều.

Vậy thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều.


Câu 2:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC', AB'C'. Chứng minh (IJK) // (BB'C)
Xem đáp án
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC', AB'C'. Chứng minh (IJK)  // (BB'C) (ảnh 1)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC;CC';B'C'.

Do I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC' nên AIAM=AJAN=23 nên IJ // MNIJ // BCC'B'.

Tương tự IK // BCC'B'IJK // BCC'B'.

Hay IJK // BB'C.


Câu 3:

Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A và A' và có ABA'B'=12. Khi đó tỉ số diện tích SΔABCSΔA'B'C' bằng bao nhiêu?

Xem đáp án
Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A và A' và có AB/A'B' = 1/2 (ảnh 1)

Hai tam giác ABC A'B'C' đồng dạng  ABA'B'=BCB'C'=CAC'A'=12 nên SΔABCSΔA'B'C'=12AB.AC.sinA12A'B'.A'C'.sinA'=14.

Cách khác: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên SΔABCSΔA'B'C'=122=14.


Câu 4:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. Gọi M là điểm trên SA sao cho SMSA=23. Một mặt phẳng α đi qua M song song với AB CD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Tính diện tích tứ giác đó.
Xem đáp án
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. Gọi M là điểm trên SA sao cho SM/SA = 2/3 (ảnh 1)

Qua M dựng đường thẳng song song AB cắt SB tại N.

Qua M dựng đường thẳng song song AD cắt SD tại Q.

Qua N dựng đường thẳng song song BC cắt SC tại P.

Ta có MN // ABMN // ABCDNP // BCNP // ABCDMNPQ // ABCD.

Ta có tỉ lệ diện tích SMNPQSABCD=MNAB2=SMSA2=49.

Lại có SABCD=10.10=100SMNPQ=100.49=4009.


Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, SAD là tam giác đều. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB, AM = x, (P) là mặt phẳng qua M song song với (SAD). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, SAD là tam giác đều. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB,  AM = x, (P) là mặt phẳng qua M song song với (SAD) (ảnh 1)

Do P đi qua M và song song với SAD nên cắt các mặt của hình chóp bằng các giao tuyến đi qua M và song song với SAD. Do ABCD là hình thoi và tam giác SAD đều. Nên thiết diện thu được là hình thang cân MNEF MN // EF;MF=EN.

Ta có MN=a, EFBC=SFSB=MAAB=xaEF=x; MF=ax.

Đường cao FH của hình thang cân bằng FH=MF2MNEF22=32ax.

Khi đó diện tích hình thang cân là S=34a2x2


Câu 6:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mệnh đề nào sau đây sai?
Xem đáp án

Đáp án C

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mệnh đề nào sau đây sai? (ảnh 1)

Ta có BA'D'BCD'A' và ADCABCD.

BCA'D'ABCD=BC, suy ra BA'D' // ADC sai

Câu 7:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Xem đáp án

Đáp án D

Mệnh đề nào sau đây sai? A. (BA'C') // (ACD') B. (ADD'A') // (BCC'B) C. (BA'D) // (CB'D') D. (ABA') // (CB'D') (ảnh 1)

Ta có BA' // CD'A'C' // ACBA'C' // ACD'.

AD // BCAA' // BB'ADD'A' // BCC'B'.

BD // B'D'A'D // B'CBA'D // CB'D'

Mặt khác B'ABA'CB'D' D sai.


Câu 8:

Đặc điểm nào sau đây đúng với hình lăng trụ?
Xem đáp án

Đáp án C

Ta có thể lấy hình lăng trụ có đáy là tam giác thường sẽ thấy các câu còn lại sai.


Câu 9:

Trong hình hộp (hoặc lăng trụ, hoặc hình chóp cụt) đoạn thẳng nối hai đỉnh mà hai đỉnh đó không cùng nằm trên một mặt nào của hình hộp (hoặc hình lăng trụ, hoặc hình chóp cụt), được gọi là đường chéo của nó. Tìm mệnh đề đúng.
Xem đáp án

Đáp án D

Vì trong hình hộp cứ hai đường chéo đồng phẳng tạo nên hình bình hành, nên chúng luôn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Câu 12:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. gọi I là trung điểm của A'B'. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. gọi I là trung điểm của A'B'. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? (ảnh 1)

Gọi J=A'D'IBD.

Ta có thiết diện của mặt phẳng IBD và hình hộp là tứ giác IJDB.

Mặt khác ABCD // A'B'C'D'IBDA'B'C'D'=IJIJ // BDIBDABCD=BD

=> IJDB là hình thang.


Câu 13:

Cho hình hộp ABCD.EFGH, gọi I, J lần lượt là tâm của hình bình hành ABCDEFGH. Khẳng định nào sau đây là sai?
Xem đáp án

Đáp án C

Cho hình hộp ABCD.EFGH, gọi I, J lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và EFGH. Khẳng định nào sau đây là sai? (ảnh 1)

Ta có ACBD=IEGHF=J nên ACGEBDHF=IJ.

Nên C sai.

Câu 14:

Phát biểu nào dưới đây là định lý Ta-lét trong không gian?
Xem đáp án
Đáp án C
Phát biểu nào dưới đây là định lý Ta-lét trong không gian? (ảnh 1)
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Câu 15:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình lăng trụ đã cho là
Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình lăng trụ đã cho là (ảnh 1)

Ta có NA'I'MAI (A'I' là trung tuyến của ΔA'B'C' và AI là trung tuyến của ΔABC)

Do đó mp (AMN) cũng chính là mp (A'I'IA)

Ta có AA'I'IA'B'C'=A'I';AA'I'IABC=AI;

AA'I'IBCC'B'=II'.

Vậy thiết diện tạo với mp (A'I'IA) và hình lăng trụ  là tứ giác AA'I'I

Mặt khác II' // CC' (đường trung bình trong hình bình hành CC'B'B) và CC' // AA' (tính chất hình lăng trụ).

Do đó II' // AA'

II' = CC' (đường trung bình trong hình bình hành CC'B'B )

CC' = AA' (tính chất lăng trụ). Do đó II' = AA'

Vậy tứ giác AA'I'I là hình bình hành.


Câu 16:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B'C', DD' Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B'C', DD' Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)

Gọi S, R, Q lần lượt là trung điểm của AD, C'D',BB'.

Dễ thấy, MS // NR;

              PS // QN;

              MQ // PR.

 => M, S, P, R, N, Q đồng phẳng.

Lại có MS // BDMS // BDC';

           PS // NQ // BC'PS // BDC'.

Vậy MNP // BDC'.

Câu 17:

Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Mặt phẳng α đi qua M song song với SBC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB.  (ảnh 1)

Gọi MN=αABCD với NCD, ta có

α // SBCSBCABCD=BCMN // BC.

Gọi NK=αSCD với KSD, ta có

α // SBCSBCSCD=SCKN // SC.

Do MN // BC // AD  nên  MN // SAD.

Gọi KQ=αSAB với QSA, ta có KQ // AD.

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng α là hình thang MNKQ có đáy MN và QK.


Câu 18:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC thỏa mãn AB = AC = 4, BAC^=30°. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC thỏa mãn AB = AC = 4, góc BAC = 30 độ. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt SA tại M sao cho  SM = 2MA. (ảnh 1)

Đường thẳng qua M song song với AB cắt SB tại N.

Đường thẳng qua N song song với BC cắt SC tại P.

Ta có MN // ABMN // ABCMP // ACMP // ABCMNP // ABC.

Gọi h1 là đường cao của ΔMNP ứng với đáy MN.

Gọi h2 là đường cao của ΔABC ứng với đáy AB.

Dễ thấy ΔMNP đồng dạng ΔABC ta có MNAB=h1h2=SMSA=23.

Ta có SΔMNPSΔABC=12h1.MN12h2.AB=23.23=49.

Lại có SΔABC=12AB.AC.sinBAC^=12.4.4.sin30°=4

SΔMNP=SΔABC.49=4.49=169.


Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy C là hình thang cân với cạnh bên BC=2, hai đáy AB=6,CD=4. Mặt phẳng P song song với ABCD và cắt cạnh SA tại M sao cho SA=3SM. Diện tích thiết diện của P và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy C là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB = 6, CD = 4 (ảnh 1)

Trong mặt phẳng SAD kẻ MN // AD, SDC kẻ NP // DC, SBC kẻ PQ // BC.

Suy ra thiết diện của P và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ.

Gọi CH là đường cao trong hình thang ABCD ta có CH=2212=3.

Suy ra SABCD=AB+DC2CH=4+62.3=53.

Do MNPQ đồng dạng với ABCD theo tỷ số k=13 nên SMNPQ=5332=539.


Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, AB = 8, SA = SB = 6. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với (SAB). Tính diện tích thiết diện của (P)  và hình chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, AB = 8, SA = SB= 6.  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với (SAB) (ảnh 1)

Qua O dựng đường thẳng PQ // AB

Vậy P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Qua P dựng đường thẳng PN // SA

Vậy N là trung điểm của SD.

Qua Q dựng đường thẳng QM // SB

Vậy M là trung điểm của SC. Nối M và N

=> thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ.

Vì PQ // CD; MN // CDPQ // MN.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.

Ta có PQ=AB=8; MN=12AB=4; MQ=NP=12SA=3.

Vậy MNPQ là hình thang cân.

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh M của hình thang MNPQ.

Khi đó ta có HQ=14PQ=2MH=MQ2HQ2=5.

Vậy diện tích của thiết diện cần tìm là S=MN+PQ.MH2=65.


Câu 21:

Cho hình chóp S.ABC M là điểm di động trên cạnh SA sao cho SMSA=kk,0<k<1. Gọi α là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ABC. Tìm k để mặt phẳng α cắt hình chóp S.ABC theo một thiết diện có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác ABC.
Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có M là điểm di động trên cạnh SA sao cho SM/SA = k (k thuộc R, 0 < k < 1) (ảnh 1)

Gọi N, P là hai điểm lần lượt thuộc SB, SC thỏa mãn MN // AB, MP // AC.

Ta có MN // ABMN // ABCMP // ACMP // ABCMNP // ABC.

Gọi h1 là đường cao của ΔMNP ứng với đáy MN.

Gọi h2 là đường cao của ΔABC ứng với đáy AB.

Dễ thấy ΔMNP đồng dạng ΔABC ta có MNAB=h1h2=k.

Vậy để thỏa mãn yêu cầu bài toán

SΔMNPSΔABC=12h1.MN12h2.AB=12k.k=12k=22.


Câu 22:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt trên AD', BD sao cho AM=DN=x0<x<a2. Khi đó với mọi giá trị x thì đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào sau đây?
Xem đáp án

Đáp án C

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt trên AD', BD sao cho AM = DN = x (ảnh 1)

Do tất cả các mặt bên đều là hình vuông cạnh a nên theo tính chất hình hộp ta có ABCD cũng là hình vuông cạnh a. Suy ra BD=AD'=a2.

Qua N kẻ NK // ADvới KAB. Qua M kẻ MI // A'D' với IAA'.

Ta có BKBA=BNBDBAKABA=BDNDBDKABA=NDBD.

NDBD=AMAD'=AIAA'. Do đó AIAA'=AKABIK // A'B.

Ta có IMNK do IM // KN // AD. Suy ra MNMNIK // A'D'CB.

Vậy MN song song với mặt phẳng A'D'CB với mọi 0<x<a2.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương