Giải Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số
Lời giải:
Sau khi học xong bài này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:
Kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể viết dưới dạng . Khi đó, biểu thức được gọi là phân thức.
Hoạt động 1 trang 29 Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức .
a) Biểu thức 2x + 1 có phải đa thức hay không?
b) Biểu thức x – 2 có phải đa thức khác đa thức 0 hay không?
Lời giải:
a) Biểu thức 2x + 1 là đa thức.
a) Biểu thức x – 2 là đa thức khác đa thức 0.
Luyện tập 1 trang 30 Toán 8 Tập 1: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?
Lời giải:
a) Do x2y + xy2 và x – y là các đa thức và đa thức x – y khác đa thức 0 nên biểu thức là phân thức.
b) Do biểu thức không phải là các đa thức nên biểu thức không phải là phân thức.
Hoạt động 2 trang 30 Toán 8 Tập 1: Cho hai phân số và . Nêu quy tắc để hai phân số bằng nhau.
Lời giải:
Quy tắc để hai phân số bằng nhau là:
Hai phân số và được gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c, viết là = .
Luyện tập 2 trang 30 Toán 8 Tập 1: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?
Lời giải:
a) Ta có: (x + y)(x – y) = x2 – y2 và (x2 – y2) . 1 = x2 – y2.
Nên (x + y)(x – y) = (x2 – y2) . 1.
Vậy = .
b) Ta có: x(x – 1) = x2 – x và (x2 – 1) . 1 = x2 – 1
Do x(x – 1) ≠ (x2 – 1) . 1 nên hai phân thức và không bằng nhau.
Lời giải:
Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:
(theo tính chất cơ bản của phân thức).
Hoạt động 4 trang 32 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức .
a) Tìm nhân tử chung của tử và mẫu.
b) Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Lời giải:
a) Nhân tử chung của tử và mẫu là 2xy.
b) Ta có : .
Vậy sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì phân thức nhận được là .
Luyện tập 4 trang 32 Toán 8 Tập 1: Rút gọn mỗi phân thức sau:
Lời giải:
Hoạt động 5 trang 33 Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức và .
b) Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được.
Lời giải:
Cho hai phân thức và .
a) • Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:
.
• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:
.
b) Mẫu của hai phân thức thu được bằng nhau và đều bằng x2y2.
Hoạt động 6 trang 33 Toán 8 Tập 1: Tìm MTC của hai phân thức và .
Lời giải:
Để tìm MTC của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử
2x + 6 = 2(x + 3); x2 – 9 = (x – 3)(x + 3).
Bước 2. Chọn MTC là: 2(x – 3)(x + 3).
Cách tìm mẫu thức như bảng sau:
Nhân tử bằng số |
Lũy thừa của x – 3 |
Lũy thừa của x + 3 |
|
Mẫu thức 2x + 6 = 2(x + 3) |
2 |
x + 3 |
|
Mẫu thức x2 – 9 = (x – 3)(x + 3) |
1 |
x – 3 |
x + 3 |
MTC 2(x – 3)(x + 3) |
2 = BCNN(2, 1) |
x – 3 |
x + 3 |
Hoạt động 7 trang 33 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức hai phân thức và .
Lời giải:
Để quy đồng mẫu thức của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Tìm mẫu thức chung
Chọn MTC là: x(x – 1)(x + 1).
Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)
[x(x – 1)(x + 1)] : x(x + 1) = x – 1; [x(x – 1)(x + 1)] : x(x – 1) = x + 1.
Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng
;
.
Luyện tập 5 trang 34 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
a) và
Ta có MTC: 2x2y4.
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
; .
b) và .
Ta có .
x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).
Suy ra MTC: x(x + 5)(x – 5).
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
Hoạt động 8 trang 34 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức . Tìm giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0.
Lời giải:
Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x≠ 2.
Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x≠ 2.
Bài 1 trang 37 Toán 8 Tập 1: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
Lời giải:
a) Điều kiện xác định của phân thức là3y + 3 ≠ 0;
b) Điều kiện xác định của phân thức là x2 + 16 ≠ 0;
c) Điều kiện xác định của phân thức là x – y ≠ 0.
Bài 2 trang 37 Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
Lời giải:
a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy
Nên 3x . 10y = 2 . 15xy.
Do đó .
b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y.
Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x).
Do đó .
c) Ta có (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) = x(x3 + 1);
Vì (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x3 + 1) nên .
Bài 3 trang 37 Toán 8 Tập 1: Rút gọn mỗi phân thức sau:
Lời giải:
Bài 4 trang 37 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
a) Ta có MTC: (x – 3y)(x + 3y)
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
.
b) Ta có: 4x + 24 = 4(x + 6); x2 – 36 = (x + 6)(x – 6).
Suy ra MTC: 4(x + 6)(x – 6).
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x = 5.
Lời giải:
a) Trong Hình 1:
• Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là x + 3 (cm); chiều rộng là x + 1 (cm).
Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x + 3)(x + 1) (cm2).
• Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là x + 1 (cm); chiều rộng là x (cm).
Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: x(x + 1) (cm2).
Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là: .
b) Điều kiện xác định của phân thức là x≠ 0.
• Ta thấy x = 2≠ 0.
Do đó, giá trị của phân thức tại x = 2 là: .
• Ta thấy x = 5≠ 0.
Do đó, giá trị của phân thức tại x = 5 là: .
a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.
b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.
Lời giải:
a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.
Chi phí để sản xuất của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng.
Khi đó, chi phí để sản xuất của x sản phẩm là 15x nghìn đồng.
Do đó, số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là:
80 000 + 15x (nghìn đồng).
Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là (nghìn đồng).
b) Phân thức biểu thị chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: (nghìn đồng).
c) • Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100 là:
(nghìn đồng).
• Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1 000 là:
(nghìn đồng).
Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.
Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 4: Luyện tập hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số