Giải Toán 11 Bài 14: Phép chiếu song song
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán trên như sau:
Khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí ở phía sau vạch vôi, tức là hình chiếu này nằm trong khung thành. Do đó, yếu tố hình học liên quan đến phép chiếu song song cho ta biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa.
1. Phép chiếu song song
a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' có đôi một song song hay không?
b) Làm thế nào để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?
Lời giải:
a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' đôi một song song với nhau.
b) Để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ ta sử dụng phép chiếu song song.
Lời giải:
Để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD, ta xác định bóng của từng điểm C và D trên sàn nhà là C' và D'. Khi đó C'D' chính là bóng của song cửa CD.
Lời giải:
+) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên AD // BC. Vì D thuộc mặt phẳng (CDHG) nên D là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC.
+) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên các mặt của nó đều là các hình bình hành. Do đó, ABCD và CDHG là các hình bình hành. Từ đó suy ra AB // CD, AB = CD và CD // HG, CD = HG nên AB // HG và AB = HG, suy ra ABGH là hình bình hành nên AH // BG. Vì H thuộc mặt phẳng (CDHG) nên H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BG.
Lời giải:
Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong vạch vôi về phía bên trong khung thành.
2. Tính chất của phép chiếu song song
HĐ2 trang 97 Toán 11 Tập 1: Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu O' của điểm O có nằm trên đoạn A'C' hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?
c) Hình chiếu O' của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A'C' hay không?
Lời giải:
Quan sát Hình 4.56a ta thấy:
a) Hình chiếu O' của điểm O nằm trên đoạn A'C'.
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD lần lượt là A'B' và C'D', chúng song song với nhau.
c) Hình chiếu O' của điểm O là trung điểm của đoạn A'C'.
Lời giải:
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.
Lời giải:
Hình thang ABCD có AB // CD, A'B'C'D' là hình chiếu song song của ABCD trên mặt phẳng (P) theo phương d (Hình 4.61).
Vì ABCD là hình thang có AB // CD, do đó hình chiếu của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là C'D'.
Tứ giác A'B'C'D' có A'B' // C'D' nên nó là hình thang.
Lời giải:
Tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) theo phương d.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Khi đó MN, NP, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
Gọi M', N', P' lần lượt là hình chiếu của M, N, P trên mặt phẳng (P) theo phương d.
Vì M là trung điểm của AB nên A, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó và . Do vậy A', M', B' thẳng hàng theo thứ tự đó và , tức là M' là trung điểm của A'B'. Chứng minh tương tự ta có N' là trung điểm của B'C' và P' là trung điểm của A'C'. Vậy M'N', N'P', M'P' là các đường trung bình của tam giác A'B'C'.
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
HĐ3 trang 98 Toán 11 Tập 1: Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiện hình lập phương chính xác hơn?
Lời giải:
Trong ba hình đã cho, Hình 4.63a thể hiện hình lập phương chính xác nhất.
Lời giải:
Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a, ta thấy:
- Hình biểu diễn của hình tam giác là hình tam giác;
- Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành;
- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.
Lời giải:
Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy ABCD là hình bình hành nên hình biểu diễn của đáy ABCD cũng là một hình bình hành. Từ đó ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD như sau:
Lời giải:
Bài tập
Bài 4.29 trang 100 Toán 11 Tập 1: Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.
c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.
d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.
Lời giải:
a) Mệnh đề a) là mệnh đề đúng.
b) Mệnh đề b) là mệnh đề sai vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
c) Mệnh đề c) là mệnh đề sai vì phép chiếu song song biến tam giác đều thành một tam giác bất kì.
d) Mệnh đề d) là mệnh đề đúng.
Lời giải:
Nếu tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song song thì tam giác ABC cũng là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua một phép chiếu song song.
Giả sử tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu d. Khi đó AA', BB', CC' đôi một song song với nhau và đều song song với phương chiếu d. Do vậy, tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A'B'C' trên mặt phẳng (ABC) theo phương d.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và G' là hình chiếu song song của nó. Gọi M là trung điểm của BC thì A, G, M thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi M' là hình chiếu của M. Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
A', G', M' thẳng hàng theo thứ tự đó và (1).
B', M', C' thẳng hàng theo thứ tự đó và (2).
Từ (1) và (2) suy ra G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'.
Lời giải:
+) Xét hình lục giác đều MNPQRS có tâm O.
Ta nhận thấy:
- Tứ giác OSMN là hình thoi;
- Các điểm P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm S, M, N qua tâm O.
Từ đó suy ra các vẽ hình biểu diễn của hình lục giác đều MNPQRS như sau:
- Vẽ hình bình hành O'S'M'N' biểu diễn cho hình thoi OSMN;
- Lấy các điểm P', Q', R' lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm S', M', N' qua O', ta được hình biểu diễn M'N'P'Q'R'S' của hình lục giác đều MNPQRS.
+) Gọi I là giao điểm các đường chéo AD, BE và CF trong hình lục giác ABCDEF ở Hình 4.65.
Khi đó nếu ABCDEF là hình biểu diễn của hình lục giác đều thì phải thỏa mãn hai điều kiện:
- Tứ giác IFAB là hình bình hành (1);
- D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua I (2).
Từ hình vẽ ta thấy điều kiện (2) thỏa mãn nhưng điều kiện (1) không thỏa mãn. Vậy Hình 4.65 không thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.
Lời giải:
Vì AB = 2 cm, CD = 6 cm nên CD = 3AB.
Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD (do AB // CD) và CD = 3AB nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có độ dài một đáy gấp ba lần độ dài của đáy còn lại. Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD như sau:
Hãy giải thích tại sao AB song song với CD.
Lời giải:
AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Khi đó AB và CD là hình chiếu song song của hai thanh chắn của một chiếc thang lên tường (do mặt trời chiếu xuống tường các tia sáng song song). Mà hai thanh chắn của một chiếc thang thì song song với nhau, do đó theo tính chất của phép chiếu song song ta suy ra AB song song với CD.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song
