Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD
Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.
Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.
Xét tam giác ABC:
M là trung điểm của AC.
N là trung điểm của BC.
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ MN // AB; MN = 12AB = a2 (1)
Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:
⇒ MP // CD; MP = 12CD = a2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = a2
Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = a√32
Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = a√32
Xét tam giác BCP có: BP = CP = a√32
⇒ Tam giác BCP cân tại P.
Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN
PN = √CP2−CN2=√(a√32)2−(a2)2=a√22
Xét tam giác MNP:
MP2 + MN2 = (a2)2+(a2)2=2a24 ; PN2 = (a√22)2=2a24
⇒ MP2 + MN2 = PN2
⇒ Tam giác MNP vuông tại M.
Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = ^NMP=90°.
Vậy AB ⊥CD.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: