Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = a căn 3. Tính góc giữa AB và CD

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = $\mathrm{a}\sqrt{3}$ . Tính góc giữa AB và CD.

Trả lời

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có M là trung điểm của BC.

⇒ $$OM là đường trung bình tam giác ABC

⇒ $$OM // AB; OM = $\frac{1}{2}$ AB = a

Tương tự ON là đường trung bình tam giác ACD.

⇒ $$ ON // CD; ON = $\frac{1}{2}$CD = a

⇒ $$ (AB, CD) = (OM, ON)

Trong tam giác MON:

OM = ON = a; MN = $a\sqrt{3}$

$\cos \widehat{\mathrm{MON}}=\frac{{\mathrm{OM}}^2+{\mathrm{ON}}^2-{\mathrm{MN}}^2}{2.\mathrm{OM}.\mathrm{ON}}=\frac{a^2+a^2-{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}{2.a.a}=\frac{-1}{2}$

⇒ $\widehat{\mathrm{MON}}=120°$.

Vậy $(\mathrm{AB},\mathrm{CD})=180°-\widehat{\mathrm{MON}}=60°$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: