Giải Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
I. Góc lượng giác
Hoạt động 1 trang 5 Toán 11 Tập 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.
Lời giải:
Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc là độ hoặc radian.
Số đo của mỗi góc không vượt quá
Phương pháp giải:
;
Lời giải:
Ta có bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau:
Độ |
||||
Radian |
Hoạt động 2 trang 6 Toán 11 Tập 1: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:
a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.
b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.
Lời giải:
a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ
b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b là chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.
Lời giải:
Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz,Ot) với tia đầu là tia Oz và tia cuối là tia Ot
b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
Phương pháp giải:
Một vòng ứng với
Lời giải:
a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc
b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là vòng). Tia đó quét nên một góc
c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc -
Lời giải:
Ta có . Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo được biểu diễn ở hình sau:
Lời giải:
Quan sát Hình 7 ta thấy:
• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối Ov;
• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia đến trùng với tia rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tỉa cuối .
Như vậy, sự khác biệt giữa hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (O’u’, O’v’) chính là số vòng quay quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của hai góc lượng giác đó chính là bội nguyên của khi hai góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của rad khi hai góc đó tính theo đơn vị radian).
Phương pháp giải:
Cho hai góc lượng giác (Ou, Ov), có tia đầu trùng nhau , tia cuối trùng nhau . Khi đó
Lời giải:
Ta có:
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Chasles:
Với ba tia tùy ý Ou,Ov,Ow ta có:
.
Lời giải:
Theo hệ thức Chasles, ta có:
II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình
Lời giải:
a) b)
Luyện tập - Vận dụng 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ
Lời giải:
Hoạt động 7 trang 10 Toán 11 Tập 1: a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho
b) So sánh hoành độ của điểm M với ; tung độ của điểm M với
Phương pháp giải:
Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định
Lời giải:
a)
b) bằng hoành độ của điểm M
bằng tung độ của điểm M
Luyện tập - Vận dụng 7 trang 11 Toán 11 Tập 1: Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức đã học để tính
Lời giải:
Hoạt động 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác
Phương pháp giải:
Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định
Lời giải:
Luyện tập - Vận dụng 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác
Phương pháp giải:
Dựa vào bảng xét dấu sau:
Lời giải:
Do nên
Hoạt động 9 trang 11 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác . So sánh
a) và 1
b) và 1 với
c) và với
d) và với
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh
Lời giải:
a)
b)
c)
d)
Luyện tập - Vận dụng 9 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác sao cho và . Tìm
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác
Lời giải:
Vì nên
Do nên . Suy ra
Hoạt động 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác
Phương pháp giải:
Dựa vào các kiến thức đã học để tính
Lời giải:
Luyện tập - Vận dụng 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:
Phương pháp giải:
Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt
Lời giải:
Ta có
a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.
b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác
Phương pháp giải:
Dựa vào hình vẽ ( hình 13)
Lời giải:
a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau
Tung độ của điểm M và M’ đối nhau
b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác
Luyện tập - Vận dụng 11 trang 14 Toán 11 Tập 1: a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trong bảng:
Lời giải:
a)
b)
Luyện tập - Vận dụng 12 trang 14 Toán 11 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính ;
a) b)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay
Lời giải:
a)
b)
Bài tập (trang 15)
Phương pháp giải:
Dựa vào các giá trị lượng giác để tính từng cạnh của tam giác MNP
Lời giải:
Hình minh họa:
Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: ;
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác sau:
Lời giải:
Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:
a)
b)
c)
d)
Phương pháp giải:
Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Lời giải:
a)
b)
c)
d)
Với k=2n+1 thì
Với k=2n thì
Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc trong mỗi trường hợp sau:
a) với
b) với
c) với
d) với
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức sau :
với
với
với
Lời giải:
a) Ta có
mà nên
Lại có nên
Khi đó
b)
Ta có
mà nên
Lại có nên
Khi đó
c)
Ta có nên
Mà
Với thì
Với thì
và thì
d)
Ta có nên
Mà
Với thì
Với thì
và thì
Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính
a) (17 số hạng)
b) (35 số hạng)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác sau:
Lời giải:
a)
b)
a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau: 1h; 3h; 5h
b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị?
Phương pháp giải:
Công thức tính chu vi hình tròn là với R là bán kính đường tròn.
Lời giải:
a) Chiều dài một vòng của quỹ đạo là : (km)
Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là (km)
Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 3 giờ là (km)
Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là (km)
b)Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau sô giờ là : ( giờ)