Giải SGK Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

I. Góc lượng giác

Hoạt động 1 trang 5 Toán 11 Tập 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.

Lời giải:

Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc là độ hoặc radian.

Số đo của mỗi góc không vượt quá 180

Luyện tập - Vận dụng 1 trang 6 Toán 11 Tập 1: Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau.

Tài liệu VietJack

Phương pháp giải:

1rad=(180π)010=(π180)rad

Lời giải:

Ta có bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau:

Độ

18

2π9.180π=40

72

5π6.180π=150

Radian

18.π180=π10

2π9

72.π180=2π5

5π6

Hoạt động 2 trang 6 Toán 11 Tập 1: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b là chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Luyện tập - Vận dụng 2 trang 7 Toán 11 Tập 1: Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác trong Hình 4b.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz,Ot) với tia đầu là tia Oz và tia cuối là tia Ot

Hoạt động 3 trang 7 Toán 11 Tập 1: a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là 314vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Tài liệu VietJack

Phương pháp giải:

Một vòng ứng với 360

Lời giải:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc 360

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là 314vòng). Tia đó quét nên một góc 3.360+14360=1170

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc -360

Luyện tập - Vận dụng 3 trang 8 Toán 11 Tập 1: Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 5π4

Lời giải:

Ta có 5π4=π+(π4). Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 5π4 được biểu diễn ở hình sau:

Tài liệu VietJack

Hoạt động 4 trang 8 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 7, hai góc lượng giác (Ou, Ov), (Ou,Ov)có tia đầu trùng nhau OuOu, tia cuối trùng nhau OvOv. Nêu dự đoán về mối liên hệ giữa số đo của hai góc lượng giác trên.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Quan sát Hình 7 ta thấy:

• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối Ov;

• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia OuOu đến trùng với tia OvOvrồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tỉa cuối OvOv.

Như vậy, sự khác biệt giữa hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (O’u’, O’v’) chính là số vòng quay quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của hai góc lượng giác đó chính là bội nguyên của 360 khi hai góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của 2π rad khi hai góc đó tính theo đơn vị radian).

Luyện tập - Vận dụng 4 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 4π3. Cho góc lượng giác  (Ou,Ov) có tia đầu OuOu, tia cuối OvOv. Viết công thức biểu thị số  đo góc lượng giác (Ou,Ov)

Phương pháp giải:

Cho hai góc lượng giác (Ou, Ov), (Ou,Ov)có tia đầu trùng nhau OuOu, tia cuối trùng nhau OvOv. Khi đó (Ou,Ov)=(Ou,Ov)+k2π,(kZ)

Lời giải:

Ta có:

(Ou,Ov)=(Ou,Ov)+k2π=4π3+k2π(kZ)

Luyện tập - Vận dụng 5 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là 11π4, góc lượng giác (Ou,Ow) có số đó là 3π4. Tìm số đo của góc lượng giác (Ov,Ow).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Chasles:

Với ba tia tùy ý Ou,Ov,Ow ta có:

(Ou,Ov)+(Ov,Ow)=(Ou,Ow)+k2π,(kZ).

Lời giải:

Theo hệ thức Chasles, ta có:

(Ov,Ow)=(Ou,Ov)(Ou,Ow)+k2π=11π43π4+k2π=72+k2π,(kZ)

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: a)  Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1

b)  Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình

Lời giải:

a) b)

Tài liệu VietJack

Luyện tập - Vận dụng 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,ON)=π3

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ 

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Hoạt động 7 trang 10 Toán 11 Tập 1: a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,OM)=60

b) So sánh hoành độ của điểm M với cos60; tung độ của điểm M với sin60

Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định

Lời giải:

a)    

Tài liệu VietJack

b) cos60 bằng hoành độ của điểm M

sin60 bằng tung độ của điểm M

Luyện tập - Vận dụng 7 trang 11 Toán 11 Tập 1: Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác β=π4

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để tính

Lời giải:

sin(π4)=22;cos(π4)=22;tan(π4)=12;cot(π4)=2

Hoạt động 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=30

Phương pháp giải:

Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định

Lời giải:

cos(30)=32>0sin(30)=12<0tan(30)=33<0cot(30)=3<0

Luyện tập - Vận dụng 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=5π6

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng xét dấu sau:

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Do π2<5π6<π nên

cos(5π6)<0sin(5π6)>0tan(5π6)<0cot(5π6)<0

Hoạt động 9 trang 11 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác α. So sánh

a)     cos2α+sin2α và 1

b)     tanα.cotα và 1 với cosα0;sinα0

c)     1+tan2α và  1cos2α với cosα0

d)     1+cot2α và  1sin2α với sinα0

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh

Lời giải:

a)     cos2α+sin2α=1

b)     tanα.cotα=sinαcosα.cosαsinα=1

c)     sin2α+cos2αcos2α=sin2αcos2α+cos2αcos2α=tan2α+1

d)     1sin2α=sin2α+cos2αsin2α=sin2αsin2α+cos2αsin2α=1+cot2α

 

Luyện tập - Vận dụng 9 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác αsao cho π<α<3π2 và sinα=45. Tìm cosα

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác cos2α+sin2α=1

Lời giải:

Vì cos2α+sin2α=1 nên cos2α=1sin2α=1(45)2=925

Do π<α<3π2 nên cosα<0. Suy ra cosα=35

Hoạt động 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=45

Phương pháp giải:

Dựa vào các kiến thức đã học để tính

Lời giải:

sin(45)=22;cos(45)=22;tan(45)=12;cot(45)=2

Luyện tập - Vận dụng 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

Q=tan2π3+sin2π4+cotπ4+cosπ2

Phương pháp giải:

Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Ta có

Q=tan2π3+sin2π4+cotπ4+cosπ2=(3)2+(22)2+1+0=72

Hoạt động 11 trang 13 Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA,OM)=α,(OA,OM)=α (Hình 13)

 Tài liệu VietJack

a)     Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b)     Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác αv\'aα

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ ( hình 13)

Lời giải:

a)  Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

     Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b)  Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác αv\'aα

Tài liệu VietJack

Luyện tập - Vận dụng 11 trang 14 Toán 11 Tập 1: a) cos2π8+cos23π8

b) tan1.tan2.tan45.tan88.tan89

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trong bảng:

Tài liệu VietJack

Lời giải:

a) cos2π8+cos23π8=cos2π8+cos2(π2π8)=cos2π8+sin2π8=1

b)

tan1.tan2.tan45.tan88.tan89=(tan1.tan89).(tan2.tan88).tan45=(tan1.cot1).(tan2.cot2).tan45=1

Luyện tập - Vận dụng 12 trang 14 Toán 11 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính ;

a) tan(75);b) cot(π5)

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải:

a) tan(75)=23

b) cot(π5)1,376

Bài tập (trang 15)

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA,OM),(OA,ON),(OA,OP) lần lượt bằng π2;7π6;π6. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị lượng giác để tính từng cạnh của tam giác MNP

Lời giải:

Hình minh họa:

Tài liệu VietJack

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225;225;1035;5π3;19π2;159π4

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác sau:

Tài liệu VietJack

Lời giải:

cos(225)=cos(180+45)=cos(45)=22sin(225)=sin(180+45)=sin(45)=22tan(225)=sin(225)cos(225)=1cot(225)=1tan(225)=1

cos(225)=cos(225)=cos(180+45)=cos(45)=22sin(225)=sin(225)=sin(180+45)=sin(45)=22tan(225)=sin(225)cos(225)=1cot(225)=1tan(225)=1

cos(1035)=cos(1035)=cos(6.36045)=cos(45)=cos(45)=22sin(1035)=sin(1035)=sin(6.36045)=sin(45)=sin(45)=22tan(1035)=sin(1035)cos(1035)=1cot(1035)=1tan(1035)=1

 

cos(5π3)=cos(π+2π3)=cos(2π3)=12sin(5π3)=sin(π+2π3)=sin(2π3)=32tan(5π3)=sin(5π3)cos(5π3)=3cot(5π3)=1tan(5π3)=33

cos(19π2)=cos(8π+3π2)=cos(3π2)=cos(π+π2)=cos(π2)=0sin(19π2)=sin(8π+3π2)=sin(3π2)=sin(π+π2)=sin(π2)=1tan(19π2)cot(19π2)=cos(19π2)sin(19π2)=0

cos(159π4)=cos(159π4)=cos(40.ππ4)=cos(π4)=cos(π4)=22sin(159π4)=sin(159π4)=sin(40.ππ4)=sin(π4)=sin(π4)=22tan(159π4)=cos(159π4)sin(159π4)=1cot(159π4)=1tan(159π4)=1

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:

a)     π3+k2π(kZ)

b)     kπ(kZ)

c)     π2+kπ(kZ)

d)     π4+kπ(kZ)

Phương pháp giải:

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Lời giải:

a)

cos(π3+k2π)=cos(π3)=12sin(π3+k2π)=sin(π3)=32tan(π3+k2π)=sin(π3+k2π)cos(π3+k2π)=3cot(π3+k2π)=1tan(π3+k2π)=33

b)

 cos(kπ)=[1;k=2n+11;k=2nsin(kπ)=0tan(kπ)=sin(kπ)cos(kπ)=0cot(kπ)

c)

cos(π2+kπ)=0sin(π2+kπ)=[sin(π2)=1;k=2n+1sin(π2)=1;k=2ntan(π2+kπ)cot(π2+kπ)=0

d)

Với k=2n+1 thì

cos(π4+kπ)=cos(π4+(2n+1)π)=cos(π4+2nπ+π)=cos(π4+π)=cos(π4)=22sin(π4+kπ)=sin(π4+(2n+1)π)=sin(π4+2nπ+π)=sin(π4+π)=sin(π4)=22tan(π4+kπ)=1cot(π4+kπ)=1

 

Với k=2n thì

cos(π4+kπ)=cos(π4+2nπ)=cos(π4)=22sin(π4+kπ)=sin(π4+2nπ)=sin(π4)=22tan(π4+kπ)=1cot(π4+kπ)=1

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a)     sinα=154 với π2<α<π

b)     cosα=23 với π<α<0

c)     tanα=3 với π<α<0

d)     cotα=2 với 0<α<π

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau :

cos2α+sin2α=1

tanα.cotα=1 với cosα0;sinα0

1+tan2α=1cos2α với cosα0

1+cot2α=1sin2α với sinα0

Lời giải:

a)  Ta có cos2α+sin2α=1

mà sinα=154 nên cos2α+(154)2=1cos2α=116

Lại có π2<α<π nên cosα<0cosα=14

Khi đó tanα=sinαcosα=15;cotα=1tanα=115

b)

Ta có cos2α+sin2α=1

mà cosα=23 nên sin2α+(23)2=1sin2α=59

Lại có π<α<0 nên sinα<0sinα=53

Khi đó tanα=sinαcosα=52;cotα=1tanα=25

c)

Ta cótanα=3 nên

cotα=1tanα=13

1cos2α=1+tan2α=1+32=10cos2α=110

Mà cos2α+sin2α=1sin2α=910

Với π<α<0thì sinα<0sinα=910

Với π<α<π2thì cosα<0cosα=110

và  π2α<0thì cosα>0cosα=110

 

d)

Ta cócotα=2 nên

tanα=1cotα=12

1sin2α=1+cot2α=1+(2)2=5sin2α=15

Mà cos2α+sin2α=1cos2α=45

Với 0<α<πthì sinα>0sinα=15

Với 0<α<π2thì cosα>0cosα=45

và  π2α<πthì cosα<0cosα=45

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính

a)  A=sin25+sin210+sin215+...+sin285 (17 số hạng)

b)  B=cos5+cos10+cos15+...+cos175 (35 số hạng)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác sau:

sin(90α)=cosα;cos(180α)=cosα

Lời giải:

a)

A=sin25+sin210+sin215+...+sin285=(sin25+sin285)+(sin215+sin275)+...+(sin235+sin255)+sin245=(sin25+cos25)+(sin215+cos215)+...+(sin235+cos235)+sin245=1+1+...+1+12=172

b)

B=cos5+cos10+cos15+...+cos175=(cos5+cos175)+(cos10+cos170)+...+(cos85+cos95)+cos90=0+0+....+0+0=0

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 3 giờ

a)    Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau: 1h; 3h; 5h

b)    Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị?

Phương pháp giải:

Công thức tính chu vi hình tròn là 2.R.π với R là bán kính đường tròn.

Lời giải:

a) Chiều dài một vòng của quỹ đạo là : 9000.2.π (km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là 9000.2.π3=6000π(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 3 giờ là 18000π(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là 9000.2.π3.5=30000π(km)

b)Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau sô giờ là : 2000006000π11( giờ)

Câu hỏi liên quan

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz,Ot) với tia đầu là tia Oz và tia cuối là tia Ot
Xem thêm
a) VT = sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 + 2sin2 x . cos2 x – 2sin2 x . cos2 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x . cos2 x = 12 – 2sin2 x . cos2 x = 1 – 2sin2 x . cos2 x = VP (đpcm). b) VT = sin6 x + cos6 x = (sin2 x)3 + (cos2 x)3 = (sin2 x + cos2 x)3 – 3sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) = 13 – 3sin2 x cos2 x . 1 = 1 – 3sin2 x cos2 x  (đpcm).
Xem thêm
a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b là chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!