Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Giải Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Mở đầu

Mở đầu trang 66 Toán 10 Tập 2: Danh sách các cầu thủ của Đội tuyển bóng đá quốc gia tham dự một trận đấu quốc tế có 23 cầu thủ gồm 3 thủ môn, 7 hậu vệ, 8 tiền vệ và 5 tiền đạo. Huấn luyện viên rất bí mật, không cho ai biết đội hình (danh sách 11 cầu thủ) sẽ ra sân. Trong cuộc họp báo, ông chỉ tiết lộ đội sẽ đá theo sơ đồ 3 – 4 – 3 (nghĩa là 3 hậu vệ, 4 tiền vệ, 3 tiền đạo và 1 thủ môn). Đối thủ đã có danh sách 23 cầu thủ (tên và vị trí của từng cầu thủ) và rất muốn dự đoán đội hình, họ xét hết các khả năng có thể xảy ra. Hỏi nếu đối thủ đã dự đoán trước vị trí thủ môn thì họ sẽ phải xét bao nhiêu đội hình có thể?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Vì mỗi đội hình gồm có 1 thủ môn, 3 hậu vệ, 4 tiền vệ và 3 tiền đạo và đã biết trước vị trí thủ môn, nên để chọn đội hình ta cần thực hiện 3 công đoạn: 

1. Chọn hậu vệ là chọn 3 trong số 7 hậu vệ: có $C_7^3$= 35 (cách). 

2. Chọn tiền vệ là chọn 4 trong số 8 tiền vệ: có $C_8^4$= 70 (cách). 

3. Chọn tiền đạo là chọn 3 trong số 5 tiền đạo: có $C_5^3$= 10 (cách). 

Vậy, theo quy tắc nhân, số các đội hình có thể có (khi đã biết vị trí thủ môn) là 35 . 70 . 10 = 24 500 (đội hình). 

1. Hoán vị

HĐ1 trang 67 Toán 10 Tập 2: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?

Lời giải:

a) Ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự:

Cách 1: Hà – Mai – Nam – Đạt.

Cách 2: Hà – Nam – Đạt – Mai.

Cách 3: Hà – Đạt – Nam – Mai.

Chú ý: Có thể chọn các cách xếp khác, không nhất thiết phải giống trên. 

b) Để xếp thứ tự 4 bạn tham gia phỏng vấn, ta thực hiện liên tiếp 4 công đoạn:

+ Chọn vị trí xếp Hà: có 4 cách chọn.

+ Chọn vị trí xếp Mai: có 3 cách chọn.

+ Chọn vị trí xếp Nam: có 2 cách chọn.

+ Chọn vị trí xếp Đạt: có 1 cách chọn. 

Vậy số cách sắp xếp thứ tự 4 bạn là: 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách).

Luyện tập 1 trang 67 Toán 10 Tập 2: Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp 6 vận động viên vào 6 đường chạy là một hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách sắp xếp các vận động viên vào các đường chạy đó là: P₆ = 6! = 720 (cách).

2. Chỉnh hợp

HĐ2 trang 67 Toán 10 Tập 2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung tham gia cuộc thi hùng biện của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn?

b) Hai bạn phụ trách nhóm, trong đó một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó?

Lời giải:

a) Vì hai bạn có vai trò như nhau nên số cách chọn 2 bạn từ 4 bạn là: 4 . 3 : 2 = 6 (cách) (do chọn bạn thứ nhất trong 4 bạn có 4 cách, sau khi chọn bạn thứ nhất, còn lại 3 bạn, nên chọn bạn thứ hai trong 3 bạn đó thì có 3 cách, hai bạn có vai trò ngang nhau nên ta chia 2 để loại trường hợp trùng). 

b) Cách 1: Để chọn 2 bạn phụ trách nhóm, trong đó một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó, ta thực hiện hai công đoạn: chọn 2 bạn và chọn nhóm trưởng hoặc nhóm phó.

+ Chọn 2 bạn trong 4 bạn thì theo câu a, số cách chọn là 6 cách.

+ Sau khi chọn 2 bạn, ta xếp vai trò 1 bạn làm nhóm trưởng, 1 bạn làm nhóm phó thì có 2 cách lựa chọn.

Vậy số cách chọn 2 bạn, trong đó một bạn nhóm trưởng, một bạn nhóm phó là 6 . 2 = 12 cách.

Cách 2: Để chọn 2 bạn phụ trách nhóm, trong đó một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó, ta thực hiện hai công đoạn: chọn 1 bạn làm nhóm trưởng, chọn 1 bạn làm nhóm phó. 

+ Chọn 1 bạn làm nhóm trưởng trong 4 bạn: có 4 cách chọn.

+ Sau khi chọn nhóm trưởng, còn lại 3 bạn, chọn 1 bạn làm nhóm phó trong 3 bạn: có 3 cách chọn. 

Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 bạn, trong đó một bạn nhóm trưởng, một bạn nhóm phó là 4 . 3 = 12 (cách). 

Luyện tập 2 trang 68 Toán 10 Tập 2: Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3 con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Lời giải:

Mỗi cách chọn ra 3 con ngựa từ 12 con ngựa, rồi xếp thứ tự chúng là một chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử. 

Vậy số kết quả có thể xảy ra là: $A_{12}^3$ = 1 320 (kết quả). 

3. Tổ hợp

HĐ3 trang 68 Toán 10 Tập 2: Trở lại HĐ2.

a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.

b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.

Lời giải:

a) Ở HĐ2a ta chỉ chọn 2 bạn từ 4 bạn, còn ở HĐ2b ta chọn 2 bạn từ 4 bạn và sắp xếp thứ tự 2 bạn để chọn làm nhóm trưởng hoặc nhóm phó.

Vậy sự khác biệt ở 2 HĐ này là ở HĐ2b có sự sắp xếp thứ tự, còn HĐ2a thì không có.

b) Kết quả ở câu HĐ2b là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử, nên số cách chọn là: $A_4^2$= 12. 

Ở câu HĐ2a, vì không cần sắp thứ tự 2 bạn được chọn nên số cách chọn sẽ giảm đi 2! lần so với việc chọn 2 bạn có sắp thứ tự, vậy số cách chọn là: $\frac{A_4^2}{2!}=\frac{12}{2}=6$.         

Luyện tập 3 trang 69 Toán 10 Tập 2: Trong ngân hàng đề kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có 20 câu lí thuyết và 40 câu bài tập. Người ta chọn ra 2 câu lí thuyết và 3 câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi theo cách chọn như trên?

Lời giải:

Để lập 1 đề thi gồm 5 câu, ta phải thực hiện 2 công đoạn liên tiếp: chọn 2 câu lí thuyết và chọn 3 câu bài tập:

+ Chọn 2 câu trong 20 câu lí thuyết là tổ hợp chập 2 của 20 phần tử, nên số cách chọn là: $C_{20}^2$= 190 (cách).

+ Chọn 3 câu trong 40 câu bài tập là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử, nên số cách chọn là: $C_{40}^3$= 9 880 (cách).

Vậy theo quy tắc nhân, số cách để lập đề kiểm tra là: 190 . 9 880 = 1 877 200 (cách).

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 2: Một câu lạc bộ có 20 học sinh.

a) Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?

b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 Phó ban, 4 thành viên khác vào Ban quản lí?

Lời giải:

a) Mỗi cách chọn 6 thành viên từ 20 học sinh vào Ban quản lí là một tổ hợp chập 6 của 20 phần tử.

Vậy số cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí là: $C_{20}^6$= 38 760 (cách).

b) Theo a, chọn 6 thành viên trong 20 học sinh, số cách là: $C_{20}^6$= 38 760 (cách).

Chọn 1 Trưởng ban từ 6 thành viên có: 6 cách.

Chọn 1 Phó ban từ 6 thành viên, trừ đi 1 thành viên trưởng ban có: 5 cách.

Bốn thành viên còn lại có vai trò ngang nhau. 

Vậy số cách chọn 1 Trưởng ban, 1 Phó ban, 4 thành viên khác vào Ban quản lí là: 38 760 . 6 . 5  = 1 162 800 (cách).

Bài tập

Bài 8.6 trang 70 Toán 10 Tập 2: Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh thành 1 hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử. 

Vậy số cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh là: P₁₀ = 10! = 3 628 800 (cách).

Bài 8.7 trang 70 Toán 10 Tập 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

Cách 1:

Để lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta cần thực hiện 2 công đoạn: chọn chữ số hàng trăm và chọn 2 chữ số hàng chục và hàng đơn vị.

+ Chọn chữ số hàng trăm từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, chữ số này phải khác 0, nên có 4 cách chọn. 

+ Chọn 2 chữ số tiếp theo từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, hai chữ số này khác nhau và khác chữ số hàng trăm, nên số cách chọn chính là số chỉnh hợp chập 2 của 4. Do đó có $A_4^2=12$ cách chọn. 

Vậy theo quy tắc nhân, có 4 . 12 = 48 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. 

Cách 2: 

Mỗi cách lập một bộ gồm 3 chữ số từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên số cách lập bộ số là $A_5^3$= 60 (cách).

Tuy nhiên, số tự nhiên có 3 chữ số thì chữ số hàng trăm phải khác 0.

Ta lập các số có dạng $\overline{0ab}$, thì số cách lập là: $A_4^2=12$(cách).

Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là: 60 – 12 = 48 (số).

Bài 8.8 trang 70 Toán 10 Tập 2: Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Lời giải:

Số nguyên dương là các số tự nhiên khác 0. 

Có 99 số nguyên dương nhỏ hơn 100 (từ số 1 đến số 99).

Mỗi cách chọn hai số nguyên dương nhỏ hơn 100 là một tổ hợp chập 2 của 99 phần tử, nên số cách chọn là: $C_{99}^2$= 4 851 (cách).

Mỗi cách chọn ba số nguyên dương nhỏ hơn 100 là một tổ hợp chập 3 của 99 phần tử, nên số cách chọn là: $C_{99}^3$=156 849 (cách).

Bài 8.9 trang 70 Toán 10 Tập 2: Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Lời giải:

Để chọn ra 2 viên bi khác màu thì Hà phải chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ.

+ Số cách chọn 1 viên bi xanh là: $C_5^1$= 5 (cách).

+ Số cách chọn 1 viên bi đỏ là: $C_7^1$= 7 cách.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 viên bi khác màu là: 5 . 7 = 35 (cách).

Bài 8.10 trang 71 Toán 10 Tập 2: Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Lời giải:

a) Mỗi cách chọn 4 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử.

Vậy số cách chọn 4 bạn nam là: $C_{10}^4$= 210 (cách).

b) Tổng số bạn của câu lạc bộ cờ vua là: 10 + 7 = 17 (bạn). 

Mỗi cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ từ 17 bạn trên là một tổ hợp chập 4 của 17 phần tử.

Vậy số cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ là: $C_{17}^4$= 2 380 (cách).

c) Việc chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ là việc thực hiện liên tiếp 2 công đoạn:

+ Chọn 2 bạn nam trong 10 nam, có: $C_{10}^2$= 45 (cách).

+ Chọn 2 bạn nữ trong 7 nữ, có: $C_7^2$= 21 (cách).

Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 bạn, có 2 nam, 2 nữ là: 45 . 21 = 945 (cách).

Bài 8.11 trang 71 Toán 10 Tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: $\overline{abcd}$ và a, b, c, d ∈ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d.

Để $\overline{abcd}$ chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d. 

+ Trường hợp 1: d = 0.

Chọn a ∈ A \ {0}, a có 9 cách chọn. 

Chọn 2 số b, c ∈ A \ {0; a} và sắp thứ tự chúng, nên có $A_8^2=56$ cách chọn. 

Do đó có: 9 . 56 = 504 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 0.

+ Trường hợp 2: d = 5.

Chọn a ∈ A \ {0; 5}, a có 8 cách chọn. 

Chọn 2 số b, c ∈ A \ {5; a} và sắp thứ tự chúng, nên có $A_8^2=56$ cách chọn. 

Do đó có: 8 . 56 = 448 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 5.

Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 504 + 448 = 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau. 

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8 trang 76

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Bài tập cuối chương 9 trang 88, 89