Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Kết nối tri thức): Mệnh đề

Câu hỏi trang 7 Toán 10 Tập 1: Xét câu “x > 5”. Hãy tìm hai giá trị thực của x để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Lời giải:

+) Với x = 4 ta có mệnh đề “4 > 5” là một mệnh đề sai.

+) Với x = 7 ta có mệnh đề “7 > 5” là một mệnh đề đúng.

2. Mệnh đề phủ định

HĐ2 trang 7 Toán 10 Tập 1: Quan sát biển báo trong hình bên.

Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

An không đồng ý với ý kiến của Khoa.

Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.

Lời giải:

Phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề như sau:

“Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

Luyện tập 2 trang 7 Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “2 022 chia hết cho 5”;

Q: “Bất phương trình 2x + 1 > 0 có nghiệm”.

Lời giải:

- Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là:

$\overline{P}$: “2 022 không chia hết cho 5”.

Số 2 022 có chữ số tận cùng là 2 nên 2 022 không chia hết cho 5. Do đó mệnh đề $\overline{P}$ là đúng.

- Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là:

$\overline{Q}$: “Bất phương trình 2x + 1 > 0 vô nghiệm”

Ta có: 2x + 1 > 0

⇔ 2x > – 1

$\iff x>-\frac{1}{2}$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x>-\frac{1}{2}$.

Do đó mệnh đề $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

Vận dụng trang 7 Toán 10 Tập 1: Cho mệnh đề Q: “Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”. Phát biểu mệnh đề $\overline{Q}$ và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề Q và $\overline{Q}$.

Lời giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là:

$\overline{Q}$: “Châu Á không là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”.

Châu Á là châu lục lớn nhất về diện tích và dân số 4 623 940 078 người (cập nhật năm 2020), có diện tích khoảng 49,7 triệu km² chiếm hơn 30% phần đất liền trên trái đất.

Do đó mệnh đề Q là mệnh đề đúng, mệnh đề $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

HĐ3 trang 8 Toán 10 Tập 1: Cặp từ quan hệ nào sau đây phù hợp với vị trí bị che khuất trong câu ghép ở hình bên

A. Nếu … thì …

B. Tuy … nhưng …

Lời giải:

Cặp từ phù hợp điền vào vị trí bị che khuất là:

Nếu sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông thì có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tùy theo mức độ vi phạm.

Chọn A.

HĐ4 trang 8 Toán 10 Tập 1: Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”;

Q: “Tam giác ABC có AB² + AC² = BC²”.

Hãy phát biểu câu ghép có dạng “Nếu P thì Q”.

Lời giải:

Phát biểu câu ghép dạng “Nếu P thì Q” như sau:

Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có AB² + AC² = BC².

HĐ5 trang 8 Toán 10 Tập 1: Xét hai câu sau:

P: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”;

Q: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức Δ = b² – 4ac > 0”;

a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề Q ⇒ P.

Lời giải:

a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức Δ = b² – 4ac > 0.

b) Mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức Δ = b² – 4ac > 0 thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Luyện tập 3 trang 9 Toán 10 Tập 1: Cho các mệnh đề P: “a và b chia hết cho c”;

Q: “a + b chia hết cho c”.

a) Hãy phát biểu định lý P ⇒ Q. Nêu giả thiết và kết luận của định lí và phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

Lời giải:

a) Định lí P ⇒ Q được phát biểu như sau:

"Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c."

Giả thiết của định lí là: a và b chia hết cho c;

Kết luận của định lí là: a + b chia hết cho c.

Định lý P ⇒ Q được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ là:

+) “a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để có a + b chia hết cho c.”

+) “a + b chia hết cho c là điều kiện đủ để có a và b chia hết cho c.”

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

“Nếu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c.”

Ví dụ:  a = 10, b = 2, c = 3

Ta có: a + b = 10 + 2 = 12 chia hết cho 3 nhưng a = 10 không chia hết cho 3 và b = 2 cũng không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai.

4. Mệnh đề tương đương

HĐ6 trang 9 Toán 10 Tập 1: Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:

“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại”.

Lời giải:

Theo dấu hiệu chia hết cho 5, ta có:

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ có những số đó mới chia hết cho 5.

Do đó mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

Luyện tập 4 trang 9 Toán 10 Tập 1: Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.

Lời giải:

n là số tự nhiên chẵn là điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 2.

5. Mệnh đề có chưa ký hiệu ∀, ∃

Câu hỏi trang 10 Toán 10 Tập 1: Em hãy xác định tính đúng sai của hai mệnh đề trên.

P: “∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0”;

Q: “∃x ∈ ℚ, x² = 2”.

Lời giải:

+) Mệnh đề P: “∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0”.

Do mọi số thực đều có bình phương không âm nên mệnh đề P là mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề Q: “∃x ∈ ℚ, x² = 2”.

- Ta có: x² = 2

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.$

Mà $-\sqrt{2},\sqrt{2}$ ∉ ℚ

Do đó mệnh đề Q là mệnh đề sai.

Luyện tập 5 trang 10 Toán 10 Tập 1: Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

∀x ∈ ℝ, x² + 1 ≤ 0.

Lời giải:

Mệnh đề đã cho được phát biểu là: “Với mọi số thực đều có bình phương của nó cộng thêm 1 là một số nhỏ hơn hoặc bằng 0.”

Ta có: x² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

⇒ x² + 1 ≥ 0 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Do đó mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.

Luyện tập 6 trang 10 Toán 10 Tập 1: Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương khác 1”.

Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1”.

a) Hãy cho biết phát biểu của bạn nào đúng.

b) Dùng kí hiệu ∀,∃ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.

Lời giải:

a) Phát biểu của Mai là đúng, vì 1² = 1, (-1)² = 1.

b) Phát biểu của Nam là: "∀x ∈ ℝ, x² ≠ 1".

Phát biểu của Mai là: "∃x ∈ ℝ, x² = 1.

Bài tập

Bài 1.1 trang 11 Toán 10 Tập 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

b) Bạn học trường nào?

c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Lời giải:

a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới” là một mệnh đề vì có thể xác định được tính đúng sai của nó.

b) “Bạn học trường nào?” là một câu hỏi nên không xác định được tính đúng sai của nó. Do đó đây không là một mệnh đề.

c) “Không được làm việc riêng trong giờ học” là một câu không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không là một mệnh đề.

d) “Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang” là một câu không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không là một mệnh đề.

Bài 1.2 trang 11 Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $\pi >\frac{10}{3}$;

b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;

d) 2 022 là hợp số.

Lời giải:

a) Ta có: π ≈ 3,14; $\frac{10}{3}$ ≈ 3,33 => π < $\frac{10}{3}$. Mệnh đề ý a) là mệnh đề sai.

b) Ta có: 3x + 7 = 0

$\iff x=-\frac{7}{3}$

Do đó phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm.

Suy ra mệnh đề ý b) là mệnh đề đúng.

c) Ta có: 0 + 0 = 0 hay số 0 cộng với chính nó bằng 0.

Do đó mệnh đề c) là mệnh đề đúng.

d) 2 022 có chữ số tận cùng là 2 nên 2 022 chia hết cho 2 khác 1 và chính nó. Suy ra 2 022 là hợp số. Do đó mệnh đề d) là mệnh đề đúng.

Bài 1.3 trang 11 Toán 10 Tập 1: Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;

Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Lời giải:

Mệnh đề tương đương P ⇔ Q  được phát biểu như sau:

“Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Nếu tam giác ABC có $\widehat{A}={90}^0$ thì

$\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0-{90}^0={90}^0=\widehat{A}$.

Nếu tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$

 $\iff \widehat{A}+\widehat{A}={180}^0$

$\iff \widehat{A}={90}^0$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Do đó mệnh đề trên là mệnh đề đúng.

Bài 1.4 trang 11 Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5”.

Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.

Lời giải:

Mệnh đề đảo của của mệnh đề P là: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5”.

Với n = 10 chia hết cho 5 nhưng chữ số tận cùng của 10 là 0 (không phải là 5). Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề P là sai.

Mệnh đề đảo của mệnh đề Q là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật.”

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc tứ giác đó là hình chữ nhật. Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề Q là sai.

Bài 1.5 trang 11 Toán 10 Tập 1: Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P: “a² < b²” và Q: “0 < a < b”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Lời giải:

a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: “Nếu a² < b² thì 0 < a < b”.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: “Nếu 0 < a < b thì a² < b²”.

c)

Với a = - 2 và b = -4

Ta có: a² = 4, b² = 16 nên a² < b² nhưng b < a < 0.

Do đó mệnh đề ý a là mệnh đề sai.

Mệnh đề ở ý b) là mệnh đề đúng.

Bài 1.6 trang 11 Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Q: “ ∃n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1”.

Lời giải:

Với n = 0, n + 1 = 1, khi đó 0 chia hết cho 1.

Suy ra mệnh đề Q là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là mệnh đề $\overline{Q}$: “ ∀n ∈ ℕ, n không chia hết cho n + 1”.

Đây là mệnh đề sai.

Bài 1.7 trang 11 Toán 10 Tập 1: Dùng kí hiệu ∀,∃ để viết các mệnh đề sau:

P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.

Lời giải:

Bằng cách dùng kí hiệu, các mệnh để P và Q được phát biểu như sau:

P: "∀n ∈ ℕ, n² ≥ n";

Q: “∃x ∈ ℝ, x + x = 0”.