Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) ${u_n} = \frac{{n - 3}}{{n + 2}}$;

b) ${u_n} = \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}$;

c) u_n = (– 1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Lời giải

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n - 2}}{{n + 3}}$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra u_n+1 > u_n

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{{3.3}^n}}}{{2\left( {n + 1} \right){{.2}^n}.n!}} = \frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}}.{u_n}$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}} < \frac{3}{2}$ suy ra u_n+1 < u_n.

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số giảm.

c) Ta có: u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹ + 1)

+) Nếu n chẵn thì u_n+1 =  – (2.2ⁿ + 1) và u_n = 2ⁿ + 1. Do đó u_n+1 < u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì u_n+1 = 2.2ⁿ + 1 và u_n = – (2ⁿ + 1). Do đó u_n+1 > u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.