Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) un = n2 + 2;
b) un = – 2n + 1;
c) \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\).
Lời giải
a) Ta có: n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra n2 + 2 ≥ 3
Do đó un ≥ 3
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới bởi 3.
b) Ta có: n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra un = – 2n + 1 ≤ – 1
Do đó un ≤ – 1.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi – 1.
c) Ta có: \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)
Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra \(\frac{1}{n} > \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0\)
Ta lại có: \(\frac{1}{n} \le 1\) và \( - \frac{1}{{n + 1}} \le - \frac{1}{2}\) suy ra \({u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} \le 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
Do đó \(0 < {u_n} \le \frac{1}{2}\)
Vậy dãy số (un) bị chặn.