Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n² + 2;

b) u_n = – 2n + 1;

c) ${u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}$.

Lời giải

a) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n² + 2 ≥ 3

Do đó u_n ≥ 3

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra u_n = – 2n + 1 ≤ – 1

Do đó u_n ≤ – 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: ${u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n} > \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0$

Ta lại có: $\frac{1}{n} \le 1$ và $- \frac{1}{{n + 1}} \le - \frac{1}{2}$ suy ra ${u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} \le 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Do đó $0 < {u_n} \le \frac{1}{2}$

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.