Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó

Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, ˆA=12ˆB. Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho ^HBK=60.

Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Trả lời
Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó (ảnh 1)

Do ABH = ∆DBK (câu a) nên BH = BK (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BHK có BH = BK và ^HBK=60 nên tam giác BHK là tam giác đều.

Suy ra HK = BH = BK.

Do đó, độ dài HK ngắn nhất khi BHBK ngắn nhất.

Khi đó H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD.

Xét ∆ABH vuông tại H và ∆DBH vuông tại H có:

AB = BD, cạnh BH chung

Do đó ∆ABH = ∆DBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AH=DH=AD2=22=1(cm).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AB2 = AH2 + BH2

Suy ra BH2 = AB2 – AH2 = 22 – 12 = 4 – 1 = 3.

Do đó BH=3cm.

Vậy độ dài ngắn nhất của HK là 3cm.