Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE Chứng minh BN vuông góc CM

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

BN CM;

Trả lời
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE Chứng minh BN vuông góc CM (ảnh 1)

Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD AC, CE AB.

Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên ^ABD+ˆA=^ACE+ˆA=90

Suy ra ^ABD=^ACE.

Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của ^ABD^ACE, suy ra ^ABN=^DBN=^ACM=^ECM.

Do ∆CEM vuông tại E nên ^ECM+^EMC=90

Suy ra ^ABN+^EMC=90 hay ^MBO+^BMO=90.

Trong tam giác MOB có: ^MBO+^BMO+^BOM=180

Suy ra ^BOM=180(^MBO+^BMO)=18090=90.

Vậy BN CM.