Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD chứng minh Tứ giác MNHK là hình thoi

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

Tứ giác MNHK là hình thoi.

Trả lời
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD chứng minh Tứ giác MNHK là hình thoi (ảnh 1)

Xét ∆BMO vuông tại O và ∆BHO vuông tại O có:

Cạnh BO chung, ^MBO=^HBO

Do đó ∆BMO = ∆BHO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra OM = OH (hai cạnh tương ứng)

Hay O là trung điểm của MH.

Tương tự ta chứng minh được ∆CNO = ∆CKO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra ON = OK (hai cạnh tương ứng)

Hay O là trung điểm của NK.

Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNHK là hình bình hành.

Hình bình hành MNHK có MH NK nên MNHK là hình thoi.