Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm Chứng minh DH + DK không đổi

Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, ˆA=12ˆB. Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho ^HBK=60.

Chứng minh DH + DK không đổi.

Trả lời
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm Chứng minh DH + DK không đổi (ảnh 1)

Do ABCD là hình thoi nên DA = AB = 2 cm, ^ABD=^CBD=12^ABC (BD là đường phân giác của góc ABC).

^BAD=12^ABC, suy ra ^BAD=^ABD.

Do đó tam giác ABD cân tại D.

Suy ra DA = DB.

Mà AB = DA, suy ra AB = DA = DB.

Do đó tam giác ABD đều nên ^BAD=^ABD=^ADB=60.

Suy ra ^BDC=^ABD=60 (hai góc so le trong của AB // CD).

Ta có: ^ABH+^HBD=^ABD=60; ^HBD+^DBK=^HBK=60

Suy ra ^ABH=^DBK.

Xét ∆ABH và ∆DBK có:

^ABH=^DBK; AB = BD; ^BAH=^BDK(=60)

Do đó ∆ABH = ∆DBK (g.c.g).

Suy ra AH = DK (hai cạnh tương ứng).

Do đó DH + DK = DH + AH = AD (không đổi)

Vậy DH + DK không đổi.